Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
376
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
1гл. VI
рого справедливо (28.95), то оно является также решением интегро-дифференциальной системы (28.81) и обладает свойствами а) и в).
Таким образом, если для некоторого решения уравнений (27.105) при t—tQ
МЯЛ(*0,&0, е)>
то тогда оно принадлежит к типу S, и поэтому для него выполняется неравенство (28.94), что и доказывает второе утверждение леммы. Докажем теперь третье и четвертое свойства леммы.
Пусть, в самом деле, s = 0. Тогда из определений (28.5) матрицы / (t):
J(t)= - U
J(t) = U
e-HJ Q
0 0
0 0
?Г
0
-Я-(
гг
для t > 0, для t < 0,
следует:
J(t)=—e-m, t> 0; /(0 = 0, г<0, вследствие чего интегральное уравнение системы (28.81):
СО
ht=^J(z — t)Q (х, gT, /гт, г) dx + / (t0 — t) A, t0 < t,
(28.96)
примет вид_
h<=-\
,в (г-т)
Q(^,gx,h^,s)dx, t>tQ
(28.97)
(так как в силу (28.96) для t0 — г<0 J(t0 — t) = 0), в котором отсутствует произвольный вектор А. Отсюда следует, что (г0, ?о> ?)> состоящее из начальных значений ht (28.97), вырождается в точку, и так как всегда / (t0, g0, г) 6 9К (*<>, gQ, г), то видим, что в данном случав m(t0,gQ, е) состоит из одной точки: h0 = f{t0,g0,s).
Пусть теперь, наоборот, s = n— 1. Тогда по определению (28.5) матрицы J (t) имеем:
/(0 = 0, г > 0; /(г) = е-Н|, i < 0,
и интегральное уравнение системы принимает следующий вид:
i
fli=\eH {t~z)lQ (%> 8t,hт, ?) ^ + ея («-« t > г0>
(28.98)
откуда, в частности, следует, что A = h0.
Однако легко видеть, что уравнение (28.98) является тождеством для любого решения дифференциальных уравнений (27.105) при любом hQ. Таким образом, в данном случае
Ю1(*о>8о> е) = ?/„0.
Пусть, наконец, и 0, ив- 1 — s 0. В этом случае член / (t — ?0) А, посредством которого вектор А входит в интегро-дифференциальную систему (28.81), может быть представлен в форме:
0 0 0 0
и 0 gff- (f—/0) U~XA^U 0 е—я_«-(0)
U-1 а,
(28.99)
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 377
где
О О
a = U о 4 U-1 А, (28.100)
и 1а является s-мерной единичной матрицей.
Отсюда можно заключить, что тождественно
'Р (t0,t,g,A,e) = W (t0,t,g,a,s). (28.101)
С другой стороны, при произвольном А вектор а, определяемый равенством (28.100), имеет всего s независимых компонент: а1,...,аа, вследствие чего уравнения
h = W(t0,t0,g0,A,B), (28.102)
характеризующие многообразие ЗЛ(?0,?о>?)> могут быть представлены в виде
h = h (aj, ..., я4),
где h(alt as) — функции s параметров, зависящие от t0,g0,& и удовлетворяющие в силу (28.84) условиям Липшица.
Итак, 3UJ (t0, g0, s) — s-мерное многообразие, что и завершает доказательство леммы III.
Примечание. Из леммы III следует, что в окрестности QUao может находиться лишь одно-единственное интегральное многообразие для системы (27.105), а именно многообразие
h = f(t,g, е).
В самом деле, это утверждение очевидно в случае s = 0. Случай s = п — 1 переходит в первый, если в уравнениях заменить t на —t. Остается рассмотреть случай: 0 < s < п — 1.
Пусть в окрестности 2?/’О0 лежит некоторое интегральное многообразие системы (27.105), которое мы обозначим через St:
S ([б Q\UQa, — оо < t < оо.
Покажем, что оно будет единственным для системы (27.105).
Из леммы III следует, что если g0,h0?St, то должно быть
fy)€9tt(«0,g0,s).
Возьмем теперь произвольное малое положительное у и выберем
такое положительное z, чтобы удовлетворялось следующее неравенство:
2с 0Сепг*<1), (28.103)
где у —положительная постоянная.
Затем возьмем произвольное вещественное и положим t0 = tx — z. Тогда вместо (28.103) получим:
2 о0Се—f < т). (28.104)
Рассмотрим некоторое другое интегральное многообразие системы
(27.105) Sti, также находящееся в окрестности 2?/®0. Пусть (g, К) будет произвольной точкой Sti.
378 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
По определению интегрального многообразия St решение (gt,ht) системы (27.105), которое принимает значение (g,h) при t = tlt лежит на St при любом t. В частности, (gtQ, hto) ? <Sio, и поэтому
htQ ? 9К (tQ, gt0! г).
Но тогда согласно лемме III имеем:
I h - / («!, g, е) | = | hh - f (tv gtl, e) | < Cer-i \hto-f (t0, gto, e) ],
или в силу (28.104)
I h - / {h, 8, ?) I = \K - / (*. ?<i> ? ) I < 2a0Ce-T (ii-io) < 71)
откуда вследствие произвольности i)
h = f(t1,g,t). (28.105)
Таким образом, из соотношения (g,h)?Stl следует (28.105), что и доказывает наше утверждение о единственности интегрального многообразия для системы уравнений (27.105).
Остановимся еще на некоторых следствиях из этой леммы. Следствие 1. Согласно доказанной лемме очевидно, что, если вещественная часть хотя бы одного из корней уравнения
Det|— Н\ = 0 (28.106)
положительна, рассматриваемое интегральное многообразие h = / (t, g, s) обладает свойством отталкивания всех близких к нему решений, за исключением решений, начальные значения которых лежат на особом точечном многообразии причем размерность Ю?(^0>?о>е) меньше,
чем размерность всего фазового пространства.
Таким образом, в этом случае яюбое решение, лежащее на интегральном многообразии
h-=--f{t,g,e.),
