Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(27.90)
Возьмем теперь столь малое sx < s*, чтобы для всякого положительного а, не превосходящего elf было справедливо неравенство .
iG (а) < § _ Pl, 0 < Pl < 8. (27.91)
Тогда ввиду того, что функции (27.73) ограничены функцией следует:
|гу|<гС(а)Ш, (27.92)
и при 0<е<е1, (t,g,h)?RQUР1 будем иметь:
|^ + 2y|<sG(a)^p + p1 < S. (27.93)
Но, как указывалось выше, функции
b)-W(?, b), B(t, <p, Ь)-В(Ъ Ъ)
для значений b?Us являются ограниченными на множестве RQUs вместе со своими частными производными функциями, стремящимися к нулю при а—>0.
Поэтому, ввиду того, что h-\-av?Us, убеждаемся, что функции W(t,g + »u,h + w)-W(t,g,h),\
B(t,g + eu,h + ev)— B(t,g, h) I
и их частные производные первого порядка по g, h ограничены по норме на множестве RQUf некоторой функцией, стремящейся к нулю при г —> 0.
Ввиду того, что функции (27.88) также обладают этими свойствами, выражения
Li (t,g,h,e) = W (t,g + eu,h + ev)-W (t, g, k)--^- + W (t, g,h) — W (g, h),
Ьг (t, g, h, s ) = B (t, g + eu,h + sv)-B (t, g, h) — +B(t, g, h)—B (g, h)+sHv
dt
dt
и их частные производные первого порядка по g, h ограничены на множестве RQUр некоторой функцией от а, стремящейся к нулю при е—>0.
Заметив это, представим уравнения (27.90) в форме, разрешенной отно-dg dh
сительно -j- , -j- .
dt ’ dt
350
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
Для этого рассмотрим матрицу, обратную матрице п-то порядка:
V
ди
dv
ди
Sdh
In-l + s
dv
dh
(27.95)
где 1и_1 представляет квадратную единичную матрицу (п — 1)-го порядка.
Как указывалось, функции (27.73) и все их частные производные по <р, Ъ до 2q порядка включительно ограничены по норме на множестве RQUz величиной G (а) .
Очевидно, что для значений (t, g, К) ? RQUf , где рх < 6, функции и (t, g, h), v (t, g, h) также будут ограничены по норме на множестве RQU?^ вместе со своими частными производными первого порядка по g и h функцией а(з), стремящейся к нулю при з—»0.
Поэтому можно указать такое положительное г0 < slt чтобы для любого положительного з < з0 матрица, обратная матрице (27.95), существовала везде на RQUP и могла быть представлена в виде:
li + an
^91
u12
. + a
22
(27.96)
где
<*n (г> g, h, г), «12 (t, g, К s), a21 (t, g, h, s), a22 (t, g, h, s)
и их частные производные первого порядка по g, h стремятся к нулю при е—>0 равномерно на RQUр .
Решая систему (27.90) относительно
получим:
dg
dl
dh
dt
= 3(0 + sII (t,g,h,e), = зЯ/г + зГ (t,g,h,s),
(27.97)
где
П (t, g, h,s) = W (g, h) + au (t, g, h, s) {со + W (g, h) + Lx (t, g, h, s)} +
+ a21(t,g, К г) {tth + H(g, h)+L2(t,g,h, s)} + ?j ?{t,g,h, s) = B(g,h) + a12(t,g,h,e) {co + W (g,h) +
+ Li (t, g, h, e)} + a22 (t, g, h, s) {Hh + В (g, h) -f
+ L2 (t, g, h, e)} + L2 (t, g, h, e). (27.98)
Сделаем ряд замечаний о свойствах введенных функций l\(t,g,h,&) и Г (t, g, h, з), которые будут нам необходимы для дальнейших рассуждений.
Как видно из (27.98), функции ll(Z,g, h, з) и Y (t, g,h,z) определены для каждого положительного з < з0 на множестве RQU? причем на этом множестве функции
n(t,g,k,e)-W(g, h), Т (t, g,h,s)-B(g,h) и их частные производные по g, h стремятся к нулю равномерно при з —> 0.
i 27]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
351
Принимая во внимание (27.51), заключаем, что можно указать такие функции М(е);Х(е, о), удовлетворяющие условиям: М(s)—>0
при е—>0; X(г, о) —>0 при г —>0, а—>0, что имеют место неравенства:
в которых а — произвольное положительное число меньшее
Функции 11 (?, g, h, г), Г (t, g, h, s) обладают периодом 2тс по отношению к g, так как этим свойством обладают функции, входящие в выра-
(см. (27.98)) выражаются через функции, которые в свою очередь выражаются через W (t, 9, b), B(t,y,b), то ясно, что если {хт} есть такая последовательность из R, для которой равномерно на RQU$ имеют место соотношения (27.53), то для этой последовательности равномерно на RQUPi будем иметь:
при т—^ оо и при каждом е таком, что 0 < е < е0.
Если условие а) (см. стр. 336) об ограниченности и равномерной непрерывности частных производных функции X(t,x) по х усилить требованием ограниченности частных производных до тга-го порядка включительно, то построенные функции П (t, g, h, s), Г (t, g, h, s) также будут обладать ограниченными и равномерно-непрерывными частными производными до 772-го порядка включительно, что следует из рассмотрения формул (27.66), (27.69), (27.73) и (27.89).
Возвращаясь к уравнениям (27.97), совершим в них переход к «медленному времени», положив
Выделим теперь один частный случай, который подробно будет нами рассмотрен в § 30, когда функции W (t, 9, b), B(t,y,b), входящие в уравнения (27.47), имеют вид
П (t, g, 0, в) I < М (з); | Г (*, g, 0, в) I < М (в), (27.99)
е<ео> teR, ges.
жения для II (t, g, h, г), Г (t, g, h, s). Так как функции II (t, g, h, г), Г (t, g, h, e)
(27.101)
X = St.
Тогда получим:
(27.102)
(27.103)
где W (t, 9, b), В (t, 9. b) — периодичны no t с некоторым постоянным периодом Т.
352 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 1Гл. VI
Тогда в силу формул (27.66), (27.69), (27.73) и (27.89) видим, что также
