Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
являются характеристическими показателями для системы (27.28).
Здесь также удобно ввести принятую нами систему матрично-векторных обозначений. Для этого введем матрицу
из п строк и (п— 1) столбцов, квадратную матрицу (п—1)-го порядка Н = \\Hhq\\ и вектор Ьи с компонентами 8и1г Ьи2, ...,
Тогда преобразование (27.31) и уравнение (27.32) представятся соответственно в виде:
При этом заметим, что как матрицы А (ер) и Н, так и вектор ом являются, вообще говоря, комплексными, несмотря на то, что коэффициенты уравнения (27.28) вещественны.
Попутно установим одно соотношение, которое будет нами использовано в дальнейшем. Для этого подставим (27.35) в уравнение (27.28). В результате получим:
Принимая во внимание, что ^ (on) ои0 является решением уравнений в вариациях (27.28), а также соотношение (27.36), получаем следующее тождество:
где А* (ер), Я* являются сопряженными по отношению к ^4 (ср) и Н.
= Sh ((0Х) iMo + 2 Л3(а)'с)8м9 (А=1> 2, ..., и), (27.31)
<2=1
п— 1
9=1
такой, что корни уравнения
(27.33)
А (?) = II Аз (?) II
(27.34)
8? = ?' (cm) §и0 А (сот) Ьи
(27.35)
(27.36)
= Х'ох {? (ер)} %' (ер) 8и0 + Хо'х {$ (ер)} А (ер) т.
^« + Л(9)Я = Х<;Ж{?(?)М(?).
(27.37)
а также
^Ц^со+л*(9)я* = х„'ле(?)М* (9),
(27.37')
338 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Перейдем теперь к преобразованию уравнения (27.1). Для этого запишем его в виде
% = eX0(x) + eZ(t, х), (27.38)
где
Z(t, х) = Х (t, х) — Х0 (х). (27.39)
Введем здесь новые переменные срЬп_г) посредством формул*):
®-$(?) + 4-М(Ч>)Ь + Л*(?)&*}, (27.40)
где Ъ и Ь* — взаимно сопряженные величины.
Подставляя (27.40) в (27.38), получим:
% ^Ж + Y (А* (*) Ь + < (?) 6*} + i { А (?) g + Л* (?) ^} =
= *Х0 {? (ср) + {м((р)Н А* (ср) &*]} + SZ {t, s (ср) + ~ [А (<р) Ь + А* (?) 6]} = = sX0 {? (ср)} 4- еХ'ж {? (ср)}у [А (?) Ъ + А* (?) b*] +
+ е [Х0 { $ + { [А (9) Ъ + Л* (Ф) Ь*)} - Х0 (?)} -
- х'ох (?)}у 1А (?) Ъ + А* (ср) b*] ] + bZ 11, $ (ср) + у [А (ср) b + А* (ср) Ъ*] |,
откуда, учитывая соотношение (27.29) и тождества (27.37), (27.37'), находим:
[ Г (?) + А (А; (?) Ь + А*'(?) Ь*) ] (g ¦- со) f -1 [ А (?) ( §¦- НЬ) +
+ Л*(?)(^-Я*&*)] = s [Х0 {^ + I [Л (?) 6+л* (?)&*]}-
- Х0 {$} -± Хох Ш [А (?) Ъ + А* (9) 6*] ] +
+ ez{*, Ц9) + ^[А(9)Ь + АЦ9)Ь*]| . (27.41)
Систему (27.41) можем представить в виде
[«'(?>+т »+ ¦'»' (?)4')] (s-") +
+4 [ ^ w (I - я0+^* <») Cf - л*4') ]=<27-42>
где Y — вещественная функция.
Найдем из этой системы переменные
5Г-”. §~Hb = R <27-43>
*) Эта замена переменных отличается от принятой в предыдущем издании тем, что при любых комплексных Ъ выражение х является вещественным. На необходимость сохранения вещественности х обратил наше внимание академик JI. С. Понтрягин, которому выражаем здесь нашу глубокую признательность.
§ 27] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 339
таким образом, чтобы выполнялось условие*)
Л = П* (27.44)
и, следовательно, чтобы
at
Учитывая условие (27.44), получим из системы (27.42) систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно выражений (27.43):
[Е'(?)+4(А(?)Ь + <(9)6*)] + ы+Л* (<?))# = Г.
(27.45)
Напомним здесь, что Y и ? (<р) — и-мерные векторы, R и Ъ — п — 1-мерные векторы, А — матрица имеющая п строк и п — 1 столбцов.
Положим, что определитель этой системы
?(?, &) = |П?) + !и'(<р)&-МГ(?) ь*), уИ(?)+Л*(?))| (27.46)
при Ь — 0 отличен от нуля**).
Тогда в силу непрерывности он будет отличным от нуля и в некоторой S-окрестности точки Ь = 0.
Условимся обозначать о-окрестность точки Ь = 0, в которой определитель D (<р, Ь) отличен от нуля, через U&. Область изменения значений (<р, Ь), для которых b изменяется в С/5, будем обозначать через 2Us.
Заметим, что всегда можно найти столь малое положительное 3, чтобы в области QU$(b, b*?Us) имело место неравенство
~\ А{у)Ъ + А* (<р) 6*| <Р
н, следовательно,
x = t(<?) + ~(A(<?)b + A* (<р) 6*)
находилось бы в области D{„ где De — р-окрестность периодического решения ?(<р), в которой функции X(t, х) удовлетворяют условиям а) и б) (см. стр. 336).
Ввиду того, что комбинация, стоящая в скобках, является всегда вещественной, необходимость обобщения функций X(t, <р) на комплексные значения х не возникает.
Решая систему (27.45) в области Us относительно переменных
(27.43), находим:
f = 30 + 3W(t, V, Ъ),
§ = гНЪ + еВ(1, <р, Ь),
(27.47)
*) Поскольку у нас значения Ъ комплексны, всегда имеется некоторый произвол в выборе R. Выбор дополпительного условия в форме (27.44), очевидно, не является обязательным. Можно выбрать другие, быть может более удобные, формы дополнительных условий.
**) Заметим, что для простоты записи зависимость D (у, Ь) от Ъ* не указывается.
340
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
1Гл. VI
где *)
W (t, 9, Ъ) = К (9, b) [ Х0 j ? (9) + ~ (А (9) Ь + А* (9) &*) j -
- Х0 (9)} - {? (9)}1 (А (9) Ъ + А* (9) 6*)] +
+ L(9, 6)z{i, ?(9) + -1(Л(9)& + Л*(9) &*)},
Я(*. 9, &) = ^(9, Ь) [х0{е(?) + -|-(^(?)6 + 4*(9)6*)}-Х0{?(9)}-{б(?) + 4(^(?)Ь + 4*(?)Ь*)}] +iV(9, b)Z[t, $(9) +
+ i (Л (?)6+Л* (?)6*)}, (27.48)
