Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
т
FT (ж) =-^г ^ X(t, х) dt
о
удовлетворяют неравенству
| FT (х') — FT (х") | < X | х — х" |,
и таким образом, последовательность этих функций при Т > со является равностепенно-непрерывной. Но так как область D, будучи ограниченной, компактна, то всякая равностепенно-непрерывная последовательность, сходящаяся в каждой точке D, оказывается вместе с тем и равномерно сходящейся.
Заметим далее, что так как для всякой почти периодической функции / (t) существует предел
т
lim f(t) dt,
(j
то в случае ограниченности области D условие б) удовлетворяется, если выражение X (t, х) для каждого х из D оказывается почти периодической функцией переменной t.
Мы рассматривали здесь вопрос о погрешности первого приближения. Однако не представляет никаких затруднений получить асимптотические оценки погрешности и для высших приближении.
§ 27. Преобразование основной системы уравнений
В настоящем параграфе остановимся на рассмотрении задач второго типа, т. е. на установлении соответствия между такими свойствами
точных и приближенных решений системы
= 3 X(t,x), (27.1)
которые зависят от поведения этих решений на бесконечном интервале времени.
Вначале рассмотрим простейший случай, когда уравнения первого приближения
Tt = sX оФ (27‘2)
имеют «квазистатическое» решение, соответствующее точке равновесия
? = ?0; Х0(?0) = 0. (27.3)
Тогда для решений этих уравнений, бесконечно близких к ?0,
имеем уравнения в вариациях:
dbi тт » тт SdX0(i)\ _ /ч
$2 7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 333
которые являются однородными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям (27.4):
Det|p/-tf| = 0, (27.5)
и представим общее решение системы (27.4) в виде:
ВД= 2 С.в.СО. (27.6)
где Cs — произвольные постоянные, a us (х) — линейно независимые частные решения, соответствующие отдельным корням характеристического
уравнения (27.5).
Для простого корня р = ps
us(x) = eps\ (27.7)
Если этот корень кратный, то
(27.8)
причем Р$ (%) будет полиномом по отношению к t степени ис выше порядка кратности ps.
Таким образом, если все корни данного характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то 8? экспоненциально стремятся к нулю.
Допустим, что s корней рх, р2, . .., ps имеют отрицательные вещественные части, а у остальных п — s корней ps+1, ps+2, ..., рп вещественные части все положительны.
Рассмотрим в этом случав s-мерное многообразие точек 8?0, которое будем обозначать через 2Jh0, характеризующееся тем, что
&^0 = Л Cjuj(x о), (27.9)
lsgi^s
или в общем случае
&^0= 2 (27.10)
l.</^s
где все уэ; (/=1, 2, . . ., s) имеют отрицательные вещественные части.
Тогда для функций о?(?), имеющих своими начальными значениями величины (27.10), получим:
(^о) = 2 CjUjixtb), (27.11)
IscjsSs
ошуда видим, что в этом случае при t оо о? (t) будут стремиться
к нулю.
Другими словами, если 8? (?0) лежит на многообразии 2Jh0, то тогда о? (?) экспоненциально стремятся к нулю; если же S? (t0) не лежат на этом многообразии, то 8?(?), начиная с достаточно больших t, будет неограниченно удаляться от 5Ш(о. В частности, когда вещественные
части всех корней характеристического уравнения (27.5) положительны, многообразие 9Jlio вырождается в точку о? (?0) = 0, и любое, отличное от нуля решение 8? (t) с течением времени не будет стремиться к нулю, а наоборот, с течением времени о? (t) будет неограниченно удаляться
ОТ Щ0.
334
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения (27.5) равны нулю, то уравнения (27.4) обладают соответствующими этим корням решениями вида
8&(f) = etv,: (27.12)
с вещественными v. Однако в этом случае произвольно малое изменение формы уравнений, например внесение нелинейных членов, может радикально изменить поведение решений, вызвать затухание или раскачивание колебаний типа (27.12). Наоборот, если вещественные части всех корней характеристического уравнения (27.5) отличны от нуля, поведение решений оказывается менее чувствительным к введению малых добавок.
В этом случае можно доказать теоремы, устанавливающие, что решения точных уравнений (27.1), лежащие в окрестности ?0, где ?0 — квазистатическое решение усредненных уравнений (27.2), обладают свойствами, являющимися естественным обобщением свойств решений (27.6) = §?(?), о которых шла речь выше. Иначе говоря, можно доказать теоремы, устанавливающие, что при определенных условиях разность между любым решением точных уравнений (27.1) и квазистатическим (квазистационариым) решением уравнений (27.1), начальные значения которых будут принадлежать некоторому точечному многообразию, размерность которого равна числу корней характеристического уравнения
(27.5) с 'отрицательными вещественными частями, с течением времени
стремится к нулю.
Разумеется, для точных уравнений (27.1) роль квазистатического решения будет играть некоторое специальное решение, близкое к но, вообще зависящее от времени.