Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
W(* + Xm> ?. b)-W(t, ср, Ь)~>0,
(при т—> со)
(27.53)
В(1 + Хт, ?, Ч~В{1, Ь Ь)~^0 равномерно в области HQ Us.
ж = $(9) + А(Л(9)& + Л* (9) Ь*)
(27.54)
( + Т
1
Т
(27.55)
f(t,x)\<M\ | f(t, x') — f(t, х") |<Хр(ж', х"),
(27.56)
*) п-й характеристический показатель в силу предположения о сугцествова-ii ии периодического решения равен нулю.
27]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
343
Поэтому можно построить такую функцию s (7’), стремящуюся к нулю при Т —» оо, что будет иметь место
t+T
^ f(t,x)dt <s(71), — оо<?<оо, х?Е. (27.57)
t
Возьмем теперь произвольную величину т| и построим функцию
t
fTi(t,x)= ^ f (i, х) dх. (27.58)
—ОО
Вводя вместо х новую переменную z по формуле z — t — x, можем написать:
со со (n-fl)T
/ч (х, х) = ^ е T)Z / (i — z, ж) dz = 2 е-г',гТ ^ f(t — z, х) е~^г^п1"> dz,
п=0
пГ
(27.59)
и поэтому на основании (27.56) получаем:
(п+1 )Т
IM*. *)| = |2 e-TiI,T \ [f(t-z,x)e-^~nT) +
п=О тгТ
со (п .
+ /(? — z, ж) —/(? —z, ж)] dz | = | 2 e_1,nT ^ f(t-z,x)dz-
71=0 пТ
со (n-fl)T
— 2 е~Г'пТ ^ f(t — z,x) (1 — e—v(z—nT))dz
(n+l)T
< 2 е~~УпТ n=0
n=0
(n+l)T
nT
<
(n+l)T
\ f(t — z,x)dz +Л/2 e—'),гТ ^ (1 — e~ri(-z-n'I">) dz =
nT n= 0 nT
(n-fl)T со
= 2 e_1,nT | ^ f(t — z, x) dz +MT'2j e~r‘nT-\-M— e-^T<
n—0 nT n=0 ^
со (n-fl)T со nT—г-f T
<2 e-tnT ^ f (t — z, x) dz +МТ<2 е_т'иТ ^ / (t, x) dt
n=0 nT n= 0 —
или, учитывая (27.57), окончательно находим:
пТ-z
+ мт (27.60)
|/,(г, *)|<2 е~^Те(Т)Т + МТ-
Гв (Г)
п=0
1 —
¦МТ. (27.61)
До сих пор величина Т была произвольной. Возьмем теперь Т как функцию т], определяемую уравнением
(27.62)
344 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ЕГл. VI
Так как &(Т) —>0 при T~^-cot то нетрудно видеть, что для функции Г,,, определяемой этим уравнением, должно выполняться соотно-
шение
¦цТ^-^О при Tj—>0.
Положим
(M+D-qT^Zi-q).
Тогда из (27.61) и (27.58) убеждаемся, что для рассматриваемой функции /(2, х) имеет место неравенство t
| J -оо<г<оо, х?Е, (27.63)
—во
в котором
^ (Ti) —^ 0 при Tj—>0. (27.64)
Итак, неравенство (27.63) получено нами для функции f(t, х), обладающей свойствами:
1) / (t, х) определена для всех вещественных t и для х ? Е, где Е— компактное множество;
2) в каждой точке Е
t + T
4" \ /(*. x)dt~^ 0, Т~^со, t
равномерно по отношению к t\
3) \f(t, ж)|<ЛГ, \f{t, x')-f(t, ж")|<Хр(ж', ж");
4) при выполнении 3) свойство 2) имеет место равномерно относительно (t, х).
Получим теперь неравенства типа (27.63) для функций: wt (*, <р, b)=W (t, 9,b)-W (?, b), 1 B1(t,9,b) = B(t,9,b)-B(9,b), I ( • '
приняв за множество E область QUs.
Так как эти функции периодичны по <р с периодом 2ъ то, очевидно, можем представить Q как окружность, и тогда Е = QC/^будет компактной областью в метрическом пространстве, являющемся топологическим произведением Q и (п — 1)-мерного эвклидова пространства.
Кроме того, в силу (27.50) в любой точке области QUs
t + T t + T
4" \ Wx(t,<?,b)dt~^0; -A- ^ Bx(t, ip, b)dt~^0 при T-^co (27.66) t t равномерно по отношению к t.
Очевидно также, что функции Wx(t, <р, b), Bx(t, <р, Ъ), как и функции W (tp, b), В (<р, Ъ), удовлетворяют в области QUa, где о < S, неравенствам вида
i Wx (t, ?'f Ъ') - Wx (t, f, b") I < 71 (a) {| I +1V - V |}, |
\Bx{t,?', b')-Bx{t,9\ Ь*)|<-ч(о){|?'-?'| + |Ь,-й'|} J( • ' (|6'|<a, |b'|<«),
где
Tj (o) ¦—> 0 при a—>0.
i 27] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 345
Поэтому можно построить функцию С (ifj) со свойством (27.64) таким образом, чтобы для произвольного положительного т| имели место неравенства:
1 Wu (t, 9, Ь)|<^; I Ви (t, 9, Ъ) | < Ц& , (27.68)
— со < t < со, (9, b)?QUs,
где
t \
(t, bb) = ^ e-r‘<t-^'>Wl(t, 9, Ь) dx, j
} (27.69)
b)= \ 9, b) dx. \
-со J
Введем теперь по аналогии с определением (26.5) функцию
(A h-LAA29 \Ъ\<а 4а(6)= Н (27.70)
[0, |Ь|>а,
где а — некоторое заданное достаточно малое число; Аа определяется условием нормирования:
$ Да(&)сгЬ= 1, (27.71)
us
где db = db1 ... йЪп_г.
В (27.70) q > 1 — некоторое фиксированное целое число, величина которого монвет быть взята сколь угодно большой.
Построим еще функцию &а(9) одной вещественной переменной 9,
задав ее на интервале (— тс, тс) с помощью соотношений:
u?)=f ’|?|<а’ ]
lo, |?1>«. [ (27.72)
^ 8а ^ а О, (
—а )
и распространим область ее определения на всю вещественную ось с помощью условия периодичности с периодом 2тс.
Введя эти функции, построим выражения:
“(*, 9. Ь)= ^ b')d<p'db',
a us
v(t, 9, b)= Sa(9 —9')Л a(b — b')Bilt(t, f', b') dy' db',
“Us
(27.73)
обладающие по отношению к 9 периодом 2тс, так как согласно определению Ьа (9) — периодическая функция 9 с периодом 2тс.
Заметим, что по своему построению функция
(?-?')Да (Ъ-Ъ') (27/74)
обладает частными производными по 9 и Ъ до 2q порядка включительно. Кроме того, так как &а(Ь), о„(9) отличны от нуля соответственно при
346 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ |ГЛ. VI
6|<а, |<р|<;а, то функция (27.74) и все ее частные производные до 2q
порядка включительно ограничены и по норме не превосходят некоторой величины G(a), вообще стремящейся к оо при Отсюда на осно-
