Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
А / ч I Аа { 1 \х\<а,
Аа(^)= a2 J ’ I (26.5)
\ 0, \х\>а,
где положительная постоянная Аа определяется соотношением
^ Aa(x)dx=i, (26.6)
Еп
в котором интегрирование выполняется по всему рассматриваемому про-странству Еп; dx обозначает бесконечно малый элемент обычного гс-мер-ного евклидова объема.
Очевидно, введенная функция Аа(х) ограничена вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Так как эта функция и ее производные тождественно равны нулю для \х\ > а, нетрудно убедиться, что интеграл
(26л>
Еп
оказывается конечным для всякого положительного а.
*) Мы будем называть р-окрестностью некоторого множества А множество всех точек, расстояние которых до А меньше р.
$ 26j ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ
Заметив это, рассмотрим функцию
329
u(t,x) =^ Да(х — х') | ^ [X(t, х') — Х0 (х')] dx'. (26.8)
d о
В силу условия б) можно построить такую монотонно убывающую функцию /(?), стремящуюся к нулю при t—> оо, что во всей области D
^[X{t,x) — X0(x)\dt <f(t).
(26.9)
Имеем поэтому
| и (t, х) | < tf (t) ^ &а(х — х') dx' < tf (t) ^ (х — х') dx' = tj (t) ^ Aa(x’)dx',
D Еп Ец
т. e.
\u(t, ж) | <?/(«). (26.10)
Далее имеем: ди (г, х)
дх
I дАа (х — х') дх
dx
$ |
Еп
dAg (х) дх
dx,
(26.11)
или ввиду (26.7)
^ |<зд«>.
С другой стороны, благодаря условию а)
|Х0(*)|<М; | Х0 (х’)— Х0 (х") | <Х | х' — х" |; х,х', x"?D, (26.12)
и потому
| Х(?, х') — Х0 (х') — X(t, х) + Х0 (х) | < 2Х \х' — х |; х, х' ?D. (26.13) Заметим теперь из (26.8), что
= ^ {X(t, x')-X0(x')}&a(x-x')dx',
D
откуда на основании (26.13) убеждаемся, что в области D справедливо неравенство
ди (г, х)
{X(t, х)— Х0(х)} ^ Aa(x — x')dx' <2Ха. (26.14)
dt
Но по определению функции &а(х) для любой точки х, а-окрестность которой принадлежит D, имеем:
a(x — x')dx'= ^ Да(х — х') dx’ = 1,
D | х—х' | < а
и таким образом, соотношение (26.14) для таких точек дает:
х) + Х0(х) <2Ха. (26.15)
330 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [гл. VI
Фиксируем теперь число а так, чтобы
а<9, а<^Гй> где т)* = min (т), Р), (26.16)
и введем функции
t
F(e)= sup ; Ф (t) = \tf (t) dt,
ItIsSL V в У t J
Имеем, очевидно,
F( e)—>0, s—>0; Ф(?)—*0, t—>co.
Поэтому можем найти столь малое положительное е0, чтобы для
всякого положительного г, не превосходящего е0, удовлетворялись не-
равенства
F (s) < a; F(s)<f; Ф (—)<-----7Г^-----. (26.17)
W 2 Vе / iL2eLl (I + IaM) K ’
Произведя такой выбор, рассмотрим выражение
х = x(t) = ? (г) + $и (t, 5(0), (26.18)
где ? (t) есть решение уравнения (26.2), принадлежащее со своей р-окрестностью к области D. Благодаря (26.10), (26.16), (26.17) имеем:
|sB(f, ?)|<е</(«)<^(8)<а<р (26.19)
в интервале
0 (26.20)
и потому в этом интервале x(t)?D.
Имеем далее:
-g-e X(t,x) = R, (26.21)
где
R-S+ --XV- E+“) = *«+*»<«} +
+ s*g.X0(?) + s{X(f, k)-X(t, ? +sit)}.
Отсюда вследствие неравенства/ (26.10), (26.11), (26.12), (26.15)
получаем:
| R | < 2Хаз + IaM-,4f (t) 4- l^tf (l) и, таким образом, в рассматриваемом интервале (26.20) найдем:
t Lie
^ егк | R (t) | d~. < | R (t) \ dt < { 2XaZ, 4- (IaM + X) L2®J(^ ~ ) } е*ь,
о о
или ввиду (26.16), (26.17)
так что
t
^ евХ ((--С) | R (,) | dx < А ; ^ (г_х) | 7? (х) I rfx < . (26.22)
§ 26] ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ 331
Пусть теперь x = x(t) представляет решение уравнения (26.1), для
которого х (0) = % (0).
Тогда в интервале
0 <t<t*; (26.23)
в котором x(t)?D, можно написать:
|X(?, x) — X(t, ж)(<Х|а:— х\, откуда благодаря (26.21) замечаем, что
d (х— х)
< Xs | х — х | -j-1 (г)!,
dt
и так как разность х — х аннулируется при г = 0, то
г
| х— х | < ^ евХ 1| R (х) | dx.
о
Поэтому на основании (26.22) видим, что в интервале (26,23) выполняются неравенства
\х — х\ < , \ х ¦ х \ <
из которых вследствие (26.18), (26.19) убеждаемся, что
-ГГ + ^ 00 < Т> \х-%\<^
х-Ц <4 + /г' (e)<Ti; \ х ? | < “г \- F (в) < р. (26.24)
Покажем теперь, что число t* может быть взято равным В самом деле, если этого сделать нельзя, то неравенство
\х — ? | < р (26.25)
не может выполняться во всем интервале ^U, — j , так как в последнем
случае мы имели бы x(t)?D для всякого t из ^0, Но так как
неравенство (26.25) заведомо выполняется для достаточно малых t, то из соображений непрерывности ясно, что существует такое tlt что в интервале (О, ?х) это неравенство выполняется и, кроме того,
|ж(г,) — S (tj) | > р -о, (26.26)
где~за 8 может быть взято любое сколь угодно малое число. Возьмем
(26-27)
и положим t* = tlt что возможно, так как на сегменте [0, ?х] точка x(t) принадлежит к области D. Но тогда в силу (26.24)
\x{t1) — %{t1) \ <|--[-.F(e) = р-23 < р — о,
что противоречит (26.26).
Итак, можем положить и неравенства (26.24) оказываются
справедливыми в интервале 0 < t < , что и завершает доказательство
нашей теоремы.
332 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Заметим теперь, что если область D ограничена (лежит в ограниченной части рассматриваемого евклидова пространства), то в условии б) можно исключить требование равномерности и сформулировать б) как условие существования предела (26.4) в каждой точке этой области. В самом деле, ввиду условия а) функции
