Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1 St, -в (р) ~St. (Л|<д («) I 8-- 8° |- (28.32)
В силу определения класса С (D, Д) функции, принадлежащие этому классу, характеризуются тем, что для них выполняются условия (28.12).
Для функций SUq(F) выполняются условия (28.30), (28.31), аналогичные условиям (28.12).
Это означает, что функция St<g(F) принадлежит к тому же классу C(D, Д), к которому принадлежит функция F, т. е. преобразование S при 8 < 8 (для 8 < з путем соответствующего выбора D и Д мы получили неравенства (28.30) и (28.31)) переводит функции, принадлежащие классу C(D, Д), в функции того же класса.
При 8 = 8° 03 (28.31) получаем неравенство:
| ||, где || /1| = sup | f |, (28.33)
на основании которого с помощью теоремы Каччиополи — Банаха легко доказать существование и единственность решения уравнения
F = SF (28.34)
в классе функций C(D, Д).
362 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ 1Гл. VI
Теорема Каччиополи — Банаха *) формулируется следующим образом. Пусть имеется непустое множество {<р} функций, определенных на одном и том же множестве Ж и обладающих свойствами:
1. Каждая функция <р ограничена (быть может, своей константой):
|?| <D9.
2. Предел равномерно сходящейся последовательности функций семейства также есть функция этого семейства.
3. На данном семействе определен оператор, который каждую функцию этого семейства переводит в функцию того же семейства.
4. Для любой пары функций срг и ср2 семейства имеет место неравенство
[ А (ср2) — А (<рх) (< т sup [ <р2 — Тх I» гДе 0 < т < 1.
Тогда уравнение <р — А((р) имеет единственное решение.
Проверим выполнение условий теоремы для нашего класса функций F.
Функции F определены на классе С (D, А) и образуют, очевидно, непустое множество. Кроме того, имеет место неравенство
\F(t,g)\<D.
В качестве оператора А имеем некоторое преобразование S, которое, как показано выше, переводит функцию из класса С (D, А) в функцию того же класса.
Для любой пары функций F и F имеет место
| SF - SF | < у || F — F ||, где || F — F || = sup | F - F | (28.35)
1
и, следовательно, т = -^ .
Покажем, что выполняется также и второе условие, т. е. что последовательность из функций Fn, принадлежащих классу С (D, А), равномерно сходится к функции F, также принадлежащей классу С (D, А).
Для этого возьмем функцию F(l и построим функцию F1 = SF0, которую назовем первым приближением уравнения F — SF, при этом F1^C(D, А). Затем можем построить второе приближение F2 = SPlt которое также будет принадлежать С (D, А). И, вообще, можем построить (р+1)-е приближение:
Fptl = SFp, (28.36)
также принадлежащее классу С (D, А).
Таким образом, получим последовательность функций
Fa,Flt F2.....F....... (28.37)
принадлежащих C(D, А).
Покажем, что эта последовательность равномерно сходится к функции F, также принадлежащей классу функций C(D, А).
*) S. Banach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs application aux equation integrates, Fund. Math., t. Ill, 1922.
§ 28] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ 363 Для этого рассмотрим ряд
^0 + (^1 - Fo) + (F* -FJ+...+ (FntX — Fn)+ ... (28.38)
Если | F01 < М0 и \FX\ < Мх (в силу того, что функции ограничены), то \FX-F0\<M0 + MX--=M.
В силу свойства (28.4) преобразования S имеем:
Р... - F п\ -1S (F.) - S | < т sop 1F „ - | (28.39)
0=т>
Поэтому члены ряда (28.38) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда с постоянными положительными членами
М0 + М -f- Мт + Мт2 + ... ^ т = у ^,
и, следовательно, последовательность (28.37), члены которой являются частичными суммами ряда (28.38), равномерно сходится к некоторой функции F.
Функции Fп, принадлежащие классу С (D, Д), являются периодическими по g с периодом 2w и удовлетворяют неравенствам (28.12).
Так как F = limi',n, a Fn удовлетворяют этим свойствам независимо
п—*со
от п, то этим же свойствам будет удовлетворять и F, что означает, что F также принадлежит классу функций C(D, Д).
Итак, все условия теоремы выполнены, и следовательно, уравнение F = SF имеет единственное решение.
Обозначим его через
F — f(t, g, -)¦ (28.40)
По самому определению F оно принадлежит классу C(D, Д) и удовлетворяет условиям (28.12).
Путем дифференцирования итерационных формул (28.36) нетрудно установить, что если P(t,g,h, s), Q(t,g,h,z) в области
t$R, g?Q, h?U0, 0 < s < $0
имеют ограниченные и равномерно непрерывные частные производные
по g, h до m-vo порядка включительно, то производные от F по g
до m-го порядка также будут равномерно сходиться.
Для этого рассмотрим последовательность, составленную из FрГ):
Fir),F[r), ...,Flr\ ... (28.41)
и ряд
For) +1 F\r) - Fir) | + | F\[P - F[r) | + . . . + | Fft{ - F<r) | + ... (28.42) В силу существования непрерывных производных от Q(t,g,h,e.) по g, h.
364 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
а также равномерной сходимости интегралов
СО
^ J (z) Q {t + 2, g, h, в) dz,
—СО
со
3 / (z)Q^ (t + Z,g,h,e) dz,'
—СО
что очевидно в силу (28.11), а также ограниченности функций Q (t-^-z, g, h, е) и их производных по g, h до m-го порядка, следует, что в выражении (28.22) можно дифференцировать под знаком интеграла по g:
