Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 116

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 138 >> Следующая

вании (27.68) можем заключить, что функции (27.73) и все их частные производные по 9, Ъ до 2q порядка включительно ограничены по норме
на множестве*) RQU$ величиной G(a)^^ .
До сих пор а ит] были произвольными.
Возьмем теперь в качестве а и -ц некоторые функции аг и -це параметра г таким образом, чтобы
ае-^0, т]е->0, вС(а)1^~>0,
G (ае) ? (fjs) —» 0 при г—>0. (27.75)
Фиксируем некоторое положительное р0 < 8 и возьмем г* столь
малым, чтобы для 0 < е < г* а = ае удовлетворило также неравенству
а-f Ро < 8. (27.76)
Заметим, что из неравенств
|Ь| <Ро, \Ь— Ь'\<Са и а + Ро < о
следует:
\Ь'\ <8.
Тогда, принимая во внимание определение (27.70) и (27.71) функции Да(6), видим, что при b?Ueo, 0 < s < s*:
^ Aa(b~b')db' = l. (27.77)
Us
Теперь, принимая во внимание (27.69), запишем выражения (27.73) для и (t, 9, Ь) в следующем виде:
u(t, 9, Ь)= ^ 80(<р-<р')Да(Ь-Ь') 9', b')dx] dtp' dV.
2 Us -00
(27.78)
Тогда имеем:
+ TJM= ^ ^ oa(9-9') Aa(b — V) ^ e-T'« ^W1(x, <?', b')dx + a u6 -00
t
+ e-’-.t'-') (x, 9', 6')*} drp'db'. (27.79)
Так как t
d_ dt
^ e~W—t) wt (x, 9', b') dx = — 7] T> Wx (x, 9', b') dx -f Wx (t, 9', b'),
*) Для сокращения записи мы здесь вещественную ось (— со, со) обозначили через R, так что RQUS обозначает множество точек (г, ср, Ь), для которых
— со < t < со, ср ? ?2, Ь ? U*.
¦ + 7]U~W1(t, <р, Ъ)= ^ &')-
§ 27] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 347
то из (27.79) следует:
j?+W=^ '\^a(?-?')Aa(b-b')wi(t, b')d? db'- (27.80)
2 us
В силу периодичности оа(<р) и соотношения (27.77) для
Оt, b)eBQ[fP0, о < s < s*,
имеем:
\ $ K(?-?')Aa(b-b')dy' db' = ^ oa(f-f')df' = ^ 6a(<p')d<p'= 1. (27.81)
2 ?7д 2 2
Поэтому для этих же значений г, ср, b получим: ди dt
а Ut
-Wx(t, % b)}dy'db'. (27.82)
С другой стороны, заметим, что согласно (27.67) можно указать такое положительное X, чтобы выполнялось неравенство
I Ич (t, 9', 6') - W, (t, 9, b) I < X {I - ?I + | Ь' - Ь |}. (27.83)
[{t, ?,b), (t, b')eBQus.
Благодаря периодичности oa (9) по 9 интегрирование по 9' можно производить по любому интервалу длины 2и и поэтому, в частности, за интервал интегрирования можем взять интервал
9— S ?+гс.
При таком выборе интервала 9 — 9' будет изменяться от -it до и и, следовательно, в силу (27.72) <^(9 — 9') будет отлична от нуля только тогда, когда
19-9'К tt-
Поэтому, так как для I9 — 9')<a (а < -тс), |6— 6'|<а, b?U90
<Ро + а < 6), s < ®*:
\ \ 8а (9 - 9^ Аа (b - b') d?' db’ = !,
а иь
то для 0 < е < е* на RQU?0 имеет место неравенство
ди dt
2 Us
Рассмотрим теперь частные производные d Г du
дЬ
и заметим, что с помощью интегрирования по частям выражения (27.78) их можно представить в виде
С С ' / п д /7 ,п ГdW 1 (г, ср', Ъ’) dWх (г, ср, Ъ) 1 , , ,,,
\ 3 °а(9-9 Ж(Ь~Ь ){¦ lxdb,--------------------- -а’у’ } dy'db ,
-ци — Wx (t, 9, b) < 2Ха ^ ^ оа (9 — 9') Да (b — b') dy' db' = 2Ха. (27.84)
2 us
грим теперь частные производные
{w + ^u-W^> Щ {& + W~wi(t> 9, Ь)} (27.85)
aus
2 С/8
(27.86)
348
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
{Гл. VI
В силу определения функций Wx(t, <р', Ъ') и Wx{t, <р, Ь) их частные производные по Ъ, Ь', <р, <р' будут непрерывными функциями. Поэтому можно найти монотонную функцию ?(г), стремящуюся к нулю при s—»0, такую, что
dWx (t, cp', b') dWi (t, cp, b) <6(s){|?'-? + b'-b |},
db' db
dWt (t, cp', b') dcp' dWi (t, tp, b) Sep <6(e) {|?' + b'-b\}.
(27.87)
Рассуждая, как и выше, т. е. принимая за интервал интегрирования <р — тс, <р + к, на котором 30 (ф — <р') будет отличной от нуля, а также принимая во внимание (27.82), имеющее место при \Ъ'— 6|<а, убеждаемся, что производные (27.85) на множестве Л2?7Р0 по норме будут меньше, чем 21а для 0 < s < з*. Но так как в силу (27.75) а—» О при е—»0, то очевидно, что функция (27.82) и ее частные производные по Ъ и <р на множестве RQUeo по норме будут меньше, чем 2$а для 0 < г < г*.
Но так как в силу (27.75) а—»0приг—»0, то очевидно, что функция (27.82) и ее частные производные по Ъ и <р на множестве RQUn по норме будут меньше некоторой величины р (з), стремящейся к нулю вместе с в,
Аналогичным образом убеждаемся, что теми же свойствами будет обладать функция
dv
dt'
Кроме того, функции -ци, -qv и их частные производные по <р, Ъ ограничены по норме на множестве RQUeg величиной С(а)С(т]), стремящейся к нулю при г—>0.
Итак, функции
dt
д\
dt
dt
ъ b) = %-B(t, b)+B(?, b)
(27.88)
и их частные производные первого порядка по <р и Ъ ограничены по норме на множестве RQU90 величиной а(е), стремящейся к нулю вместе с s.
Заметив это, возвратимся к уравнениям (27.47) и совершим замену переменных, полагая
<p = g + eu(t, g, A); b = h+ev(t, g, А). (27.89)
Дифференцируя (27.89) и подставляя в (27.47), получим:
dt
ди dg , ди dh S dg dt dh dt
du
e — + mo + e~W {t, g + m, h + ev},
dh . dv dg , dv dh dv , tt, , «„ , n ,
dT + sdtm + sdhdi= —to+BHh + e*Hv + *B{t, g + Bu,h + Bv},
5 27]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
349
ШУИ
dg dt
+ S {W (t, g + rn, h + tv)-W (t, g, h)} + 8W (g, h) + sco,
+ siIiv + s[B(t, g + BU, h + ev) — B(t, g, h)}+sB(g, h)+eHh.
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed