Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ари этом W (t, 9, 6) и B(t,f,b) являются вещественными функциями.
Здесь К(9, 6), L(9, 6), М(9, 6), iV(9, 6) представляют собой миноры определителя (27.46), деленные на сам определитель, и являются рациональными функциями Ь, регулярными при Ь — 0 (регулярными в том смысле, что Ь = 0 не является особой точкой).
В силу свойств функций А (9) коэффициенты при степенях Ъ в выражениях для К(9, Ъ), L(9, Ь), М(9, b), N (у, Ь) являются непрерывными периодическими функциями 9 с периодом 2тс и обладают непрерывными производными по 9 до второго порядка включительно.
Так как в области QUs имеет место
j \А (?) Ъ + А* (9) Ь* | < р
и ?'(9) в силу (27.29) тоже ограничены' и, кроме того, функции А (9) и ? (9) непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, то К (9, b), М (9, Ь), L(9, b), N (<р, Ъ) в этой области также будут ограничены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными первого порядка.
Поэтому в силу (27.39) и (27.48), где X(t, х) обладают ограниченными и равномерно-непрерывными частными производными по х до второго порядка включительно в области
— оо < t < 00, х? Dр,
следует, что в области
— со < t < со, (9, Ъ) ? QUt (27.49)
функции W {t, 9, Ъ), B(t, 9, Ъ) и их частные производные первого порядка по (9, Ь) также будут ограничены и равномерно непрерывны по отношению к (9, Ъ).
Кроме того, из соотношений
+т
Y ^ X(t, x)dt—>Х0{х), Т—> со, t
Z(tt x) = X(t, х) — Х0(х)
*) Зависимость W (г, Ь) и В (г, ср, Ъ) от Ь* ради простоты записи не указывается. В дальнейшем мы также не будем указывать зависимость функций от Ъ*.
§ 27]
имеем:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
341
1 t+T
Т ^ Z (t, х) dt —> О, Т -
со.
Поэтому из (27.48) следует, что в любой точке области (27.49)
t+T t + T
jr ^ W{t, ср, b)dt->W(ср, Ъ)\ ^ B(t, ср, Ь) dt —>i?(ep, Ъ) (27.50)
t t
равномерно по отношению к t при Т со, где W&, Ъ) = К (ер, б)[х0{5(?) + |(Л(?)6+Л*(?)6*)|-
- Х0 (9)} - Х1х (9)}| (А (9) Ъ + А* (9) Ь») ] , В(9, 6) = М(9, Ъ) [Х0 |?(9) + у(^1(9)& + Л*(9)&*)| -
- ^0 {?(?)}- Xio{6(9)}- J (А (9)6 + А* (9) 6*)] . (27.51)
Как видно из (27.51), функции W (9, Ъ), В(9, Ъ) вместе со своими
частными производными первого порядка при Ъ = 0 обращаются в нуль.
Поэтому, взяв произвольное положительное а < о, мы можем для функций W(9, Ъ) и В(9, 6) написать очевидные соотношения:
W(9', 6')-W(9'f 6") |< |В(9\ 6')-5 (9",
dPF (ср, Ъ)
дер
(ср, Ъ)
дер
<р^<р
Ь=Г
?=<р
ъ='ъ
\? -г\ +
(ср, Ъ)
<р=<р
ь=гГ
д.В (ср, Ь)
дЪ
~ I V - Ь" |
9=9
Ь=Ь
(|6'|<о; |6’|<о; 9'<9<9"; Ь'<Ь<Ь"), откуда следуют неравенства, справедливые в области QUZ:
I W (9', b')-W( 9", Ь")|<^(а){|9'-9"| + |6'-6"|},| |В(9', 6')--8(9', г»') К ч (о) {| ч»' — «Р' 1 +1 г»' — ft" I}, I
(27.52)
где т](о)—>0 при а—>0.
Возвратимся к выражениям для W (t, 9, Ъ) и j?(?, 9, 6) -(27.48). Функции ^(9, Ь), L(9, 6), М(9, 6),- iV(9, 6), как уже указывалось
(см. стр. 340), являются непрерывными и периодическими функциями по 9 с периодом 2тс. Другие функции, стоящие в выражении для W (t, 9, 6) и B (t, 9, 6):
Х0 {6 (?) + j (?) Ь + Л* (9) Ь*] },Х0$ (9)},
Х.'*{5(9)}, А (9), Z[t, ?(9)+i-[4(9)6 + ^*(9)6*]},
в силу их определения, также являются периодическими функциями 9. Поэтому W(t, 9, b), B(t, 9, Ъ) периодические функции 9 с периодом 2гс.
Кроме того, если {"ст} есть такая последовательность из R, для которой разность X (t + xm,x) — X (t, х) равномерно стремится к нулю
342
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
Егл. VI
в области RDt при т~> со, то из выражений (27.39) и (27.48) следует:
Наложим еще одно ограничительное условие на систему (27.1), а именно: будем полагать, что вещественные части всех (п — 1) корней характеристического уравнения (27.33) отличны от нуля. Тем самым мы накладываем здесь требование неравенства нулю вещественных частей (n — i) характеристических показателей*) для уравнений в вариациях (27.28).
Заметим в заключение, что, вводя новые переменные ср, Ь {Ьх, .. . ...,&n—1)> согласно (27.40), мы вместо системы (27.1) получим действительно эквивалентную ей систему (27.47).
В самом деле, пусть ср и Ъ(ЬХ, ..., Ьп_х) удовлетворяют системе (27.47); тогда при условии (27.48) система (27.45) имеет место тождественно и, следовательно,
тождестренно удовлетворяет системе уравнений (27.1).
Для удобства дальнейшего изучения уравнений (27.47) их целесообразно путем введения новых переменных g, h(hlt /г2, ..., }гп_г) преобразовать к такому виду:
чтобы P(t, g, /г, е) и Q(t, g, h, г) были достаточно малые при малых h и е.
Для этого рассмотрим некоторую функцию /(Z, ж), определенную для всех вещественных t и для всех х из множества Е. Допустим, что Е есть компактное множество некоторого метрического пространства и что в каждой точке Е
равномерно по отношению к t.
Кроме того, предположим, что можно указать такие положительные постоянные М и X, что для всех вещественных t и для всех ж, х' и ж" из Е имеют место неравенства:
где р(ж', х") — расстояние между точками х' и х". Нетрудно заметить, что из принятых условий вытекает, что соотношение (27.55) выполняется равномерно не только по отношению к t, но и по отношению к (t, х).
