Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
шя
пренебрегаемую в принятой степени точности, то при дифференцировании
I
(25.42), кроме несущественных членов порядка — , добавятся еще чле-
шя
БЫ —/*.
“я
Воспользуемся указанным произволом и определим, например, итак, чтобы оно точно равнялось компоненте скорости ^центра ларморовской окружности, параллельной магнитному полю. Тогда повое и будет равняться старому и плюс —. В уравнениях (25.41) можно заменить
“я
просто и старое па и новое, ибо разность между этими величинами по порядку величины меньше, чем члены, удержанные в (25.41).
Таким образом, окончательно мы получаем следующую систему уравнений, определяющих движение центра ларморовской окружности:
du . . w2 ,.
^=(^T0)+TdiVT0,
dw uw
~di~ ^"dlVTo, v. (2o.i3)
dr
dt
= To^ + T0x{-^^+2^V«.H + -^(TnV)T0}. I
Нетрудно усмотреть, каков физический смысл различных членов в уравнениях (25.43): т0гг —составляющая вектора скорости частицы, направ-
326
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[Гл. V
ленная по магнитному полю;
^[Fi0] = ^[EH] (Я «Я)
—скорость дрейфа частицы под действием электрического и магнитного поля
2^b0XgradwH]=g^[ffXVtf]
—скорость дрейфа, вызванная неоднородностью магнитного поля;
|w| = i
я “яЛ
(где R — радиус кривизны линий магнитного поля, п — главная нормаль к линиям магнитного поля) — скорость дрейфа, вызванная кривизной линий магнитного поля, или скорость «центробежного» дрейфа.
Последнее уравнение системы (25.43) можно записать также в виде
dr юд , v2 +и? . _ . , 1 г _ , ,
гг “ “ 1- -щг (“я х vo.H]+[^wh] +
л н
+ -^-(r°tft)H—(юягоЬшн)} , (25.44) “я ( фн J
v2 = u2-1- w2,
где положено ын = шнч0 и учтено тождество (-c0V) -50= — [-с0 rot т0], или в виде
d____lj Н I с г рстт , тс (у2w2) fZjTiin I
dt tf + Я2 + 2еН3 [-Н^л] +
+ ~{rotlf-f2(tfrotH)} . (25.45)
В частном случае, если rot?f = 0, уравнение (25.45) принимает вид
? ~и § + A 1Eg] + [HVgl- (25.46)
Уравнения (25.43) описывают движение центра ларморовской окруж-
ности с точностью до членов —г*).
шя
Заметим в заключение, что вышеизложенный общий асимптотический метод усреднения при быстрэ вращающейся фазе может быть использован также для исследования гироскопических систем.
*) Заметим, что рассмотренный пример решен во втором приближении С. И. Брагинским (Украинский математический журнал, т. VIII, 1956).
ГЛАВА VI
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
§ 26. Обоснование метода усреднения
Проблема обоснования асимптотических методов может исследоваться с различных точек зрения.
Можно, например, искать условия, при которых разность между точным решением и его асимптотическим приближением для достаточно малых значений параметра становится сколь угодно малой на сколь угодно большом, но все же конечном интервале времени.
Можно также поставить и значительно более сложные задачи, пытаясь устанавливать соответствие между такими свойствами точных и приближенных решений, которые зависят от их поведения на бесконечном интервале.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать первую задачу как более простую.
Поскольку излагавшиеся ранее асимптотические методы допускают приведение к методу усреднения, мы для общности сформулируем ее применительно к системе дифференциальных уравнений я стандартной форме.
Итак, будем рассматривать систему уравнений
(х, X — точки гс-мерного евклидова пространства) с малым параметром s. Построим для нее соответствующую систему усредненных уравнений
и приступим к доказательству теоремы, устанавливающей, что при весьма общих условиях разность — может быть сделана сколь угодно малой для достаточно малого е на сколь угодно большом интервале О < i < 71. Так как Е (г) зависит от t через посредство произведения ег, то для того, чтобы в течение указанного интервала времени 5 могло успеть значительно отойти от своего начального значения, т. е. чтобы этот интервал оказался достаточно длительным с точки зрения изменения ?, за Т^следует брать величину порядка Ц-, где L может быть сделано сколь угодно большим при достаточно малом s.
Сформулируем поэтому утверждение о малости ошибки x(t) — ^(t) первого приближения следующим образом.
Теорема. Если функция X(t,x) удовлетворяет условиям:
а) Для некоторой области D можно указать такие положительные постоянные М и X, что для всех вещественных значений !>0 и для
?=• X(t,x)
(26.1)
(26.2)
328 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИГл. |VI
любых точек х, х', х" из этой области удовлетворяются неравенства
| X (t, х) |< М; | X(t, х') — X (t, х") | < X | х' — ж" |. (26.3)
б) Равномерно по отношению к а: в области D существует предел
т
lim С X(t, x)dt = Х0 (х). (26.4)
Т->со «3
Тогда любым, сколь угодно малым положительным р, т) и сколь угодно большому L можно сопоставить такое положительное s0, что если ? = ? (О есть решение уравнения
определенное в интервале 0 < t < оо и лежащее в области D вместе со всей своей р-окрестностыо*), то для 0 < е < е0 в интервале [0 < t < —
справедливо неравенство
\x(t)-%{t)\ < 7),
в котором x = x(t) представляет решение уравнения
((,*),
совпадающее с %(t) при t = 0.
Доказательство. Фиксируем некоторое положительное число а и строим функцию
