Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, уя;с «улучшенное первое приближение»
Е = Е0 + еХ(/, 60) = е0 + з2 (27.13)
будет зависеть от времени, причем в нем будут появляться колебания
с внешними частотами, присутствующими в выражении
X (t, х) = ^ Xv (х) eivi. (27.14)
V
Введем еще некоторые определения. Пусть каждому t из интервала ( —оо, оо) соответствует некоторое множество St точек х, которое можно представить аналитически в параметрической форме уравнениями вида
х = / (?, Сх, С2, ..., С3),
где f(t, Сх, С2, .. ., С8) удовлетворяют условиям Липшица по отношению к параметрам Сх, С2, • ¦ Cs во всей области их изменения.
Мы будем говорить тогда, что St есть s-мерное интегральное многообразие для уравнения (27.1), если для всякого решения x — x(t) этого уравнения из соотношения
x{t)?Su
справедливого в какой-то момент времени t — t0, вытекает его справедливость для любого вещественного t.
Для доказательства теорем о поведении точных решений в окрестности нам понадобятся, кроме условия неравенства нулю веще-
§ 27] [ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 335
ственных частей корней характеристического уравнения (27.5), лишь самые общие условия.
Итак, предположим, что:
а) функция X (t, х) и ее частные производные первого порядка по х ограничены и равномерно непрерывны по отношению к ж в области
— оо < t < со, De, (27.15)
где D9 — некоторая р-окрестностъ точки ?0;
б) в каждой точке области Dp
t+T
-^г ^ X (t, х) dt —>Х0 (ж) при Т —> со (27.16)
t
равномерно по отношению к ( в интервале (— со, оо).
Положив в (27.1)
ж=?0+&, (27.17)
где ?0 — квазистатическое решение уравнения (27.2) и учитывая при этом (27.4), основное уравнение (27.1) можно представить в виде
^ = e//6 + e?(f, Ь), (27.18)
где
B(t, b) = Z (t, Eo+6) + X0(?0 + 6)-X0(50)-(^).=.e6, (27.19)
Z(t, x) = X(t, х)-Х0(х), (27.20)
При этом в силу а) и б) в р-окрестности точки Ъ = 0 функции В (t, Ъ),
Z(t, ?0 + ^) и их частные производные первого порядка по Ъ ограничены
и равномерно непрерывны по отношению к Ь в области
— оо < t < оо, |&|<р. (27.21)
Кроме того, в каждой точке рассматриваемой окрестности |&|<р согласно (27.16) и (27.20) имеем:
t + T
^ Z(t, Бо + 6)Л-»0 при Т~> оэ (27.22)
(
равномерно по отношению к t, откуда, очевидно, следует: t + T
B(t,b)dt-+B (Ь) = Х0 (?0 + Ь)-Х0 (?0) - Х'ог (?0) 6. (27.23)
-1 J Т->со
Поскольку 5 (Ь) со своими частными производными первого порядка обращается в нуль при Ь = 0, то из условия, которому, очевидно, удовлетворяет функция В (Ь)
|В(Ь')-В(6')|<|ВД.|ь=7 \Ь'-Ь'\ (Ь'<Ь<Ь’),
следует, что при
\Ь' |<о, |6"|<с (а < р)
имеет место
\В(Ъ') — В (У) |< т] (а) | Ъ' - Ь" |, (27.24)
где
т](а)—>0 при а—>0.
336 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Из выражений (27.19), (27.20) видно, что если X (х, t) имеют частные производные до п-го порядка включительно, которые являются ограниченными и равномерно непрерывными по отношению к Ь в области (27.21), то B(t, Ъ) и Z(t, Eo + fr) также будут обладать этими свойствами.
Для дальнейшего исследования удобно уравнения (27.18) преобразовать к виду:
d^=Hk + Q(t,k, з), (27.25)
где Q(t, h, г) была бы достаточно малой величиной при малых h и s.
Однако этого преобразования мы производить не будем, так как к аналогичной форме можно привести уравнение (27.18), рассматривая более общий случай, чем изложенный выше, а именно, когда уравнения первого приближения (27.2) имеют периодическое решение:
X = S ((от).
Итак, приступим к исследованию случая, когда уравнения первого приближения (27.2) имеют периодическое решение, в р-окрестности которого функция X (t, х) обладает свойствами:
а) эта функция и ее частные производные первого порядка по х ограничены и равномерно непрерывны по отношению к ж в области
— ОО <[ t < оо, ж ? D),
где Da — ^-окрестность периодического решения уравнений первого приближения.
61 В каждой точке D9: t + T
^ X(t, x)dt~^X0(x) при T~> оо (27.26)
t
равномерно по отношению к I б интервале (—оо, оо).
Итак, пусть периодическое решение уравнений (27.2) имеет вид
ж = Б(<1>т), (27.27)
где ? (?) — периодическая функция ср с периодом 2ти.
Составим для уравнений первого приближения (27.2) уравнения в вариациях, соответствующие периодическому решению (27.27).
Получим однородную систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами:
§ = Х^(«п)К. (27.28)
В силу определения функции (27.27) тождественно имеем:
<(*)=*„ {&(*)}. (27.29)
Дифференцируя это равенство по ср, нетрудно убедиться, что при произвольной постоянной г>и0 выражение
8? = ^ (ют) 8гг0 (27.30)
является решением уравнения в вариациях (27.4).
Прежде чем перейти к преобразованию уравнения (27.1), сделаем некоторые замечания, относящиеся к теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
§ 21)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
337
Как известно, на основании теорем Флоке—Ляпунова о свойствах линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами посредством преобразования типа
П—1
в котором Ahg(<p) (к = 1, 2, .. ., п; q — 1,2,..., п — 1) — периодические функции ср с периодом 2ъ, обладающие непрерывными первыми производными, уравнения с периодическими коэффициентами (27.28) могут быть приведены к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффи циентами :
