Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 128

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 138 >> Следующая

(29.13) h — h(t) будет обладать свойствами, указанными в леммах. Поэтому, рассматривая разность
убеждаемся на основании леммы I в справедливости свойства 1).
В лемме II установлена почти периодичность h(t) по t. Из выражений (27.73), где функции в силу того, что они выража-
ются через X(t,x), являются почти периодическими относительно t -с частотным базисом функции X(t,x), следует, что v(l,<p, Ъ) также являются почти периодическими функциями t с тем же частотным базисом. Поэтому из (29.11) и (29.12) следует, что x(t) — почти периодическая функция t с частотным базисом функции X (t, х), что и устанавливает справедливость второго свойства теоремы.
Свойство 3) следует из леммы I, так как мы всегда можем положить
т
и поэтому
X0(?) = -i$X(M)^.
о
х — %0-\- Ь,
(29.11)
(29.12)
приводится к виду
^L = Hh + Q(t,h, е),
(29.13)
o(E) = Z>(E) + EG(a)C-M
(29.14)
382 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
(см. (27.75)), и, следовательно, так как D (е) также стремится к нулю при ? ¦—> 0, то б (е) будет стремиться к нулю при s—s-0.
Для доказательства свойства 4) рассмотрим неравенство
| Ж [t) - Ж* (/) I < I h {t) - / (t, г) | + е I V (t, /г) - V (t, /) I < (1 + еХ) I h (t) - / (t, г) | ,
(29.15)
где h (0 — любое решение системы (29.13), принадлежащее области U„ ~ Сопоставляя это неравенство с результатами леммы III, убеждаемся в справедливое!и четвертого свойства. Таким образом, теорема полностью доказана.
Перейдем теперь к рассмотрению решений в окрестности периодического решения уравнений первого приближения, когда роль угловой переменной является существенной.
В этом случае может быть доказана следующая теорема:
Теорема II. Пусть для дифференциального уравнения
g = eX(«,*) (29.16)
выполнены следующие условия:
а) Уравнение первого приближения
§ = зХ0(Ю, (29.17)
где
т
имеет периодическое решение
6 = 6 (so*); S(<p + 2*) = $(<p). (29.18)
б) Вещественные части всех (п— 1)*) характеристических показателей для уравнений в вариациях
f = (29.19)
соответствующих периодическому решению (29.18), отличны от нуля, и D(f, 0)^0 (см. (27.46)).
в) Можно найти такую р-окрестность U9 орбиты этого периодического решения, что функция X(t, х) и ее частные производные по х до m + 1-го порядка включительно будут ограничены и равномерно непрерывны по отношению к ж в области
— со < ? < со, x?Uf.
г) X (t, ж) —почти периодическая функция t равномерно по отношению к ж ? U0.
Тогда можно указать такие положительные числа о0, (a0 <
< <Ji < р), что при любом положительном г < г' будут справедливы следующие утверждения:
1. Уравнение (29.16) имеет единственное интегральное многообразие St, лежащее для всех вещественных t в области [70.
*) Один характеристический показатель, как уже отмечалось, в данном случае всегда равен нулю.
§ |29] /ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 383
2. Это многообразие St допускает параметрическое представление вида
x = f(t, в). (29.20)
Здесь*) f(t,0) определена для всех вещественных t, б, обладает периодом 2и по отношению к б и является почти периодической функцией t равномерно по отношению к 0 с частотным базисом функции X(t, х).
Можно найти такую функцию 8 (е), стремящуюся к нулю вместе с е, что
\f(t, 0)-5(0)|<8(а).
Функция f(t, 6) имеет равномерно непрерывные производные по 0 до т-го порядка включительно.
3. На многообразии St уравнение (29.16) эквивалентно уравнению
§ = *F(t,9), (29.21)
в котором F (t, 0) определена для всех вещественных t, 0, является
периодической функцией 0 с периодом 2 и и почти периодической
функцией t равномерно по отношению к 0 с частотным базисом функции X (t, х)\ F (t, 0) обладает ограниченными и равномерно непрерывными производными по б до пг-го порядка включительно.
Кроме того, имеют место неравенства:
\F (t, 0) — Q (s) | < 5* (s); (29.22)
| F (t, 6') - F (t, 0") | < 7)* (e) | 0' - 0" |, (29.23)
в которых 8* (s), ifj* (e) стремятся к нулю вместе с s. Таким образом, всякое решение уравнения (29.16), принадлежащее к многообразию Su представимо в виде
x = f(t, d(t)), (29.24)
где 0 = 0 (г) есть некоторое решение уравнения (29.24), и, наоборот, выражение (29.24), в котором 0 = б(?) есть решение уравнения (29.21), всегда является решением уравнения (29.16), принадлежащим многообразию St.
4. Если вещественные части всех п — 1 рассматриваемых характеристических показателей отрицательны, многообразие St обладает свойством притяжения всех близких к нему решений.
Так, пусть x = x(t) есть любое решение уравнения (29.16), проходящее при некотором t —10 через какую-либо точку области U„0:
Тогда для него при t > t0 будут выполняться неравенства вида:
| X (0 - / (t, 0 (0) | < сх (е) С—т ('-Ч (29.25)
^ - *F (t, 0 (0) < с2 (г) e-Т (29.26)
*) Для сокращения записи мы не будем отмечать у функции / (t, 0) и других аналогичных ей функций их явной зависимости от е.
384 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [гл. VI
5. Если все эти вещественные части положительны, то можно найти такое tx > t0, что
x{h)?UCi К>а0). (29.27)
6. Если s рассматриваемых вещественных частей отрицательны, а остальные п — 1 — s положительны, в области U, существует s-мерное точечное многообразие Жго такое, что из соотношения
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed