Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
я (*0) 6 5Ш<0
вытекает экспоненциальное стремление к нулю выражения (29.25) при t —> оо, а из соотношения
н0 х(го)€5Шг0, (29.28)
вытекает справедливость соотношения (29.27) при некотором tx > t0.
Таким образом, если хотя бы одна из вещественных частей рассматриваемых характеристических показателей положительна, многообразие St неустойчиво. Любое не принадлежащее к нему решение x(t), для которого x(t0) лежит в области U„ и не находится на особом точечном многообразии низшей размерности, с течением времени покинет область U, (ах > а0).
По поводу этой теоремы заметим, что нас особо будет интересовать важный частный случай, когда / (t, 0) и F (t, 0) являются периодическими функциями t с некоторым периодом Т (не зависящим от 0) и число производных тп взято равным двум. Этот случай будет нами специально рассмотрен в следующем параграфе.
Доказательство теоремы II. Существование и единственность интегрального многообразия St, параметрическое представление которого, учитывая формулы перехода от х к g, h:
х = Ц? ) + l{A(f)b + A*(?)b*}, (29.29)
y = g + zu(t, g, h), b — h-\- ev (t, g, h), (29.30)
можно представить в виде
X = $ (0 + ем) + ±-{А (0 + ев) (h + ео) + А* (0 + еи) (h* + bV*)} = f (t, 0), (29.31)
вытекает из того, что в леммах I, III нами установлено существование и единственность g, h (а следовательно, и 0, определяемого уравнением
(29.21)). В силу того, что е и о нами выбраны так, что
А(у)Ь -\-A*(f)b*\ < р, b=^h + sv, где | h + sv | < S,
следует:
^ I А (0 4- ем) (h -f еу) f А* (0 + ем) (h* + еу*) | < р, (29.32)
и поэтому
х е и(.
Согласно (29.31) многообразие St допускает параметрическое представление
x = f(t, 0),
8 29] ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ 385
где
/ (2, 0) = 5 (0 + ем (2, О, / (2, 0, г))) + + ~2~{А (0 + зц (2, 0, / (2, 0, е))) (/ (2, 0, г) + ЗУ (2, 0, / (2, 0, s))) +
+ Л* (0 + ем (« , 0, / (2, 9, е))) (/* (2, 0, е) + з о* (г, 6, / (2, 0, г,)))}.
В силу того, что ?(?>), -4(9) являются периодическими функциями 9 с периодом 2%, а также в силу того, что h (t) = / (2, 0 (г)), а также-и (г, 0, /(2, 0, г)), и (2, 0, /(2, 0, з)), в силу их определения (см. стр. 345), являются периодическими по 0 с периодом 2it, следует, что функции
ж = /(2, 0)
будут периодическими по 0 с тем же периодом 2тс.
В лемме I доказано, что /г = /(2, g, е) имеют ограниченные и равномерно непрерывные производные до m-го порядка включительно. Так как $(9) и А (9) также обладают ограниченными и равномерно непрерывными производными m-го порядка, то из (29.31) видим, что /(2,0) будут обладать ограниченными и равномерно непрерывными производными до m-го порядка включительно.
Кроме того, всегда можно найти такое о (г), стремящееся к нулю вместе с г, что будет выполняться неравенство
|/(2, 0)-6(0) | <&(*). (29.33)
Утверждение 3) теоремы непосредственно следует из следствия к лемме I, где вместо уравнения (28.51)
ft=G(s) + F(t,g, .)
рассматриваем уравнение
= 0)
относительно переменной 0.
Покажем теперь, что многообразие St обладает свойством притяжения всех близких решений в случае, если вещественные части всех п — 1 рассматриваемых характеристических показателей отрицательны, т. е. покажем, что имеет место неравенство
гдеж(2) — любое решение уравнения (29.16), проходящее при некотором t = t0 через какую-либо точку области UGo. В силу формулы перехода от ж к g, h (29.31) имеем, учитывая при этом соотношение (28.107):
х (0 — / (*» ® (0)\ = I ? (® "Ь ем (tt 0* hi)) + ~2 {А (0 + (t, 0, ht)) (ht -f-
+ sv(t, 0, ht)) + A* (0 -j-зи (2, 0, ht)) {h*t-\-sv* (2, 0, /г,))} —
_6(0 + eB(*, 0, /))- -1{Л(0 + ев(*. 0, /))(/(*, 0, «) + ео(*, 0, /)) + + Л * (0 + ев (2, в, Л) (/* (2, 0, з) + et>* (2, 0, /))} | < <Х(з, ач)|/г;-/(2, 0(2))]<С|/г,о-/(2о, 0(2о))|е-^<-^.
386
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[ГЛ. VI
Принимая теперь во внимание, что htQ и f(t0,B(t0)) принадлежат области U„ , окончательно получаем:
Неравенство (28.96) непосредственно следует из установленного в следствии 2 к лемме III неравенства (28.108), где вместо переменной g положено 6.
Утверждения 5 и 6 теоремы непосредственно следуют из леммы III и ее следствия 2.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Заметим, что все сформулированные выше результаты непосредственно переносятся на тот случай, когда основное уравнение имеет несколько более общую форму
а в уравнении первого приближения, соответствующем рассматриваемому уравнению (29.34), положено
т
При этом достаточно, чтобы условия, наложенные на X(t, х), выполнялись для функции X (t, х, е) равномерно по отношению к е в некотором интервале 0 < е < s'.
Действительно, в таком случае уравнение (29.34) теми же заменами переменных приводится к системе вида (27.105) со всеми указанными свойствами.
В настоящем параграфе рассмотрим важный частный случай, когда функции (29.20) f(t, 0) и правые части уравнений F (t, б) являются периодическими функциями времени t с некоторым периодом Т (не зависящим от 0) и число производных тп взято равным двум.
В соответствии со свойством 2) и 3) теоремы II § 29 такой «случай периодичности» будет иметь место, например, когда функции X (t, х) обладают по отношению к t этим периодом Т.
