Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Jn ~ [^П, П) фп, п]
всегда лежит, по крайней мере, один корень уравнения (30.60).
Легко доказать, однако, что при произвольном положительном к интервалы
tn+h — [*рп+й, n+ft, 9n+h, n+ft]» In = ['pn, n, 9n, n]
имеют общую часть.
В самом деле, если бы эти интервалы не имели общей части, то выполнялось бы одно из следующих двух соотношений:
9n+h, n+h фп+ft, n+ft ^ фп, п ^ 9п, п (30.77)
или
9n+h, n+k 9n+k, n+h ¦'С 9п. п "С 9п, п • (30.78)
Допустим сначала, что выполняется соотношение (30,77). Тогда, полагая в (30.74) т = п-{-к, имеем:
9n+h, П - Ке-^о <"+««> 0n+ft > ф;+й, „ + Ке-*чо <«+*>». (30.79)
Учитывая (30.75), можем написать:
0n+ft + Ke-*t о <«+*> • = ^+ft, n+k,
и потому из (30.77) и (30.78) находим:
9n+h, п ^ 9n+k, n+k ?n+h, n+h 9п, п¦ (30.80)
Обозначим через а*+ъ. корень уравнения (30.60), лежащий в интервале ^п+&=[фА+й. n+ft, ?n+ft, n+fe]- На основании (30.80) этот корень a*+h удовлетворяет также соотношению
9n+h, п > &n+k > fn, п,
и таким образом, мы видим, что последовательность
/ / / /
фп, nt^pn+l, п> фп+2, т • • •» ^pn-j-k, п
«перепрыгивает» через корень уравнения (30.60), что противоречит лемме а). Аналогично доказывается невозможность неравенства (30.78).
Итак, интервалы
^n+fei
400
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[ГЛ. VI
имеют общие части. Так как, с другой стороны, согласно (30.75) длина интервала 1п равна 2Ke~s'!ons и в каждом из этих интервалов находятся бп и корни уравнения (30.60), то убеждаемся, что при п—> со
®п ^ ?0>
где ip0 —корень уравнения (30.60), или согласно обозначению (30.73)
Sms-2%rm-^rpo< т~> 00 >
что и требовалось доказать для случая рационального v.
Резюмируем теперь полученные результаты в форме следующей теоремы.
Теорема III. Пусть для уравнения
% = *X{t,x) (30.81)
выполняются условия а) и б) теоремы II § 29 (см. стр. 382), а также условие в) при т, = 2.
Кроме того, пусть выполняется одно из следующих двух условий: а) X (t, х) — периодическая функция по г с периодом Т равномерно по отношению к х g U9 или
Р) в уравнениях (30.4) функции W(t, 9, Ъ), B(t, 9, Ъ) имеют вид:
W (г, 9, b) = W(t,<p + 4t, Ъ),
B{t, 9, b)^B(t, 9 + vi, Ъ),
причем функции W (t, 9, Ъ), B(t,<p, Ъ) обладают по отношению к t периодом Т равномерно относительно 9, Ъ.
Тогда можно указать такое достаточно малое положительное число s' и положительное а0 (а0 < р), что при любом положительном е < s' уравнение (30.81) имеет единственное интегральное многообразие St, лежащее для всех вещественных t в области Ua, удовлетворяющее результатам 2) и 3) теоремы И, в которых следует положить ш = 2.
Поведение решений
x = f(t, 0), где б определяется из уравнения
5"=«*м)
(причем f(t,b) и F (t,0) являются периодическими функциями по t с периодом Т, не зависящим от 0), характеризуется числом v и может быть представлено в виде
х (t) = Ф (aet, су + ф), ф = const, где ае — («внешняя» частота), ap = -^-v («собственная» частота), а Ф (9, ф) — непрерывная функция угловых переменных 9, ф с периодом 2те.
Таким образом, если v иррационально, каждое из решений x(t), лежащее на интегральном многообразии St, является квазипериодиче-ской функцией t с двумя основными частотами ае и ар; если v рационально, то на интегральном многообразии St существуют периодические решения с этими же основными частотами, и любое непериодическое решение, лежащее на интегральном многообразии St, приближается к одному из таких периодических решений при t-^> со.
§ 30) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 401
В случае выполнения условия а) имеет место неравенство
\ар~ ео>|<е5(е), о (®) 0;
в случае выполнения условия р) — неравенство
I аг — v — ем К ео (е), о (е)-* 0.
I р I ^ \ w 3^0
Пусть в дополнение к уже наложенным условиям все п— 1 рассматриваемых характеристических показателей имеют отрицательные вещественные части.
Тогда любое решение уравнения (30.81), проходящее при t = t0 через какую-либо точку области U,, приближается при t—> со к одному из стационарных решений (к квазипериодическому решению в случае иррационального v или к периодическому решению в случае рационального v).
Укажем в заключение ряд приложений теорем I, II, III к теории нелинейных колебаний в системах с одной степенью свободы.
Начнем с рассмотрения свободных колебаний, характеризуемых дифференциальным уравнением вида (1.1):
d2x .о , ( \dx \
л*-+ “)а:==е> (.*’-*>
с малым положительным параметром s.
Тогда уравнение первого приближения для амплитуды колебаний будет (1.24):
ж-=s^(fl)'
причем на основании (1.27)
Аг (а) = — ^ / (a cos ф, — аш sin ф) sin ф е?ф.
о
Покажем теперь, что с помощью теоремы I и сделанного к ней примечания можно строго установить те результаты, относящиеся к свойствам периодичности и устойчивости, которые были получены в главе I для приближенных решений.
Для этого совершим в уравнении (1.1) замену переменных:
х = a cos ф ,
dx
= — am sin ф .
В результате получим:
~= — ^-/(асовф, — am sin ф) sin ф , ]
*|> . <30-82) -^г= со — — /(а совф, — acosin ф) cos ф , |
откуда
da __ s /(асоэф, —аи> sin ф) sin ф /on oq\
