Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Этим сейчас мы и будем заниматься.
Рассмотрим вначале следующие выражения:
9т+1 + ^е~5То(т+1>-^(бт+^-^от) = 0т+1 _ F (0J +
Jf-Ke-^om (e-svo-\-Fn),
Om+1-Ke-^™+»-F(Qm - *e-™m) = 0m+1 -F(0J- ^ (3°'37)
— Ker^ °m (e-^o — Fi),
где К — некоторая постоянная, вообще говоря, малая, выбор которой будет нами сделан ниже.
§ 30] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 393
В силу неравенства (30.11) и уравнения (30.13) имеем:
^(6) = 1 + Ф'(б),
|Ф' (0)|<ер (г),
откуда находим:
1 — ер (е)<Г( (6)< 1 + гр (г)- (30.38)
Поэтому, учитывая неравенства (30.38) и (30.34), из соотношения (30.37) получаем следующие неравенства:
+ Ке-^т+^ < F (6т + Ке-*™™-) + Q (е) e~s^m —
— Ке-*1 о™ (1 — ер (г) — е-^о), ет+1 — Ке-^ы+i) > F (бт — Ке-^°т) — Q (е) е-^о™ +
+ Ке~вчот(\ — гр (е) — e_eY°).
(30.39)
(30.43)
Пусть теперь число г0 взято столь малым, что для любого положительного в меньшего е0 выполняется следующее соотношение:
1 — sp (s) — e~SY0 > 0. (30.40)
Тогда, полагая, что постоянная К определена выражением
^, (30.41)
1 — so (е) — е Yo V ’
и вводя обозначения
Ym = K + Ke-^m, фт = 6т- ЛГе-тот, (30.42)
из неравенств (30.39) находим:
Фт + 1 F (фт),
Фт+l > F (фт)*
Рассмотрим теперь системы чисел
?т, п, fm, п, (30.44)
являющиеся по отношению к индексу т решениями итерационного
уравнения (30.36):
9m+l = Р(?т)
при начальных условиях
чы,„ = еп+лге-~ = ф;, 1
(“-"Ч (3а45)
Вследствие неравенств (30.43), принимая во внимание монотонное
шзрастание функции F (Ч), заключаем, что
?т\?т, n, (jn = n, П+ 1, П + 2, . . . ). | (30.46)
Vm ^ фт, n j
394 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Согласно (30.45) имеем:
Ът = ?т-Ке~*-<о™, бт = Фт + Ке-°Т™, откуда, учитывая (30.46), получаем следующее неравенство:
9т, п + ЛГв-тот< 0m< n - Ke—'V*. (30.47)
Рассмотрим вначале случай иррационального v. В этом случае на основании второго свойства Пуанкаре — Данжуа (стр. 389) ?т, п и 9™, п как решения итерационного уравнения (30.36) могут быть представлены в следующем виде:
9т, П = 2хш + %п + Е (2wtm + %п), 1 9т, П = 2отт + 7]п + ?,(2отт + 7]п), J
где 5П и т]п — произвольные постоянные.
Принимая во внимание (30.47) (откуда следует, что п < 9™, п) и учитывая, что 9+ 2? (9) является монотонно возрастающей функцией, не остающейся постоянной ни в каком сколь угодно малом интервале, можем утверждать, что стоящие в соотношении (30.48) постоянные ?п и т]п удовлетворяют неравенству
> •'in- (30.49)
Полагая в неравенствах (30.47) т = п-{-1 и учитывая (30.45), имеем: 9n+i. n > 0n+1 + Ke~^(n+i) e cpn+i, пн
9n+i,n<6n+1-is:e-^o(n+i);
Сравнивая (30.50) и (30.48), находим:
5п ~)~Е (2п(т -f- v) -f ?п) > 5n+1-j- i? (2tc (vTi-f- v) + 6п+1), т]п + Е (2тс (vn. + v) + чп) <т]п+1 + ? (2тс (vn. + v) + т]п+1), и потому ввиду монотонного возрастания функции 9+ ?'(9) видим, что
^П + 1 ^П>
-Ч+1’"+" 1 (30.50)
— 9п+1. n+1* J
1+1<5п’ ) (30.51)
T)n-H>7)n- I
С другой стороны, из равенств (30.48) и (30.45) следует:
5п + Е (2™л + 6„) — Т\п — Е (2мл +- 7jn) = 2—> 0,
п-+ со
откуда
Sn-7)»!-^0* (30.52)
Только что установленные соотношения (30.49), (30.51), (30.52) показывают, что последовательности Sn и г1п, первая убывая, а вторая возрастая, стремятся к некоторому общему пределу ф.
С другой стороны, отбрасывая в неравенствах (30.47) слагаемое Ке~е^т и учитывая соотношение (30.48), имеем:
2™m + tm-\-E (2mm-ttj > 0m > 2«m + i)m + ?(2«-f-TiJ, (30.53)
откуда при m—> 00 находим:
« 30]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 395
ИЛИ
т~~> °°> (30.54)
что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к рассмотрению случая рационального v:
v = f, (30.55)
где г и s— взаимно простые числа.
Введем функцию, получающуюся в результате s-кратного применения преобразования F:
Ф* (ср) = F (.. . F (9) . . .) — 2 тс г, (30.56)
и заметим, что она будет непрерывно и монотонно возрастающей функ-
цией ср.
Так как F (ф) обладает свойством периодичности «второго рода» с периодом 2тс, то, следовательно, разность
Ф,(9)-? (30.57)
будет периодической с периодом 2тс по 9.
Ввиду того, что в рассматриваемом случае рациональною v(^v="7")
на основании свойства 3), установленного Пуанкаре — Даижуа, периодические решения итерационного уравнения (30.36)
9n+i = *¦(?«)
удовлетворяют соотношению
?п^-?п = 2^г, (30.58)
то для них
?n+s = F(...F(F(?))...), или на основании (30.56)
Фп+s — 2тсг = (?«)> (30.59)
откуда, учитывая (30.58) и полагая n = ms, находим:
9ms (9 ms)"
Таким образом, принимая в качестве начального значения ф0 один из корней уравнения
? = ®i(?), (30.60)
получаем решение итерационного уравнения (30.36) <pms, исходящее из начального значения ф0, которое согласно (30.58) можем записать в виде
?ms = ?о + 2кгт. (30.61)
Однако имеем:
9m,+i--p(9ms) = 0- (30.62)
Согласно соотношению (30.34) имеем также:
°ms + l-F (6тз)—>0' т~-> °°- (30.63)
396 ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ [Гл. VI
Поэтому в данном случае рационального v для того, чтобы доказать соотношение
6п-9п->0> л-» 00.
нам надо показать, что
т —> СО (30.64)
или, что непосредственно вытекает из (30.62) и (30.63),
