Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
6mS + l-9ms + l-^0> т~>СО,
или, наконец, вообще
®ms+k ?ms+h ' ^ 0 j га ¦ > ОЭ,
где й = 0, 1, 2, .. ., 6- — 1.
Учитывая (30.61), соотношение (30.64) можем записать в виде
^ms 2тст'га¦ > сро, т—> со, (30.65)
где 90 — один из корней уравнения (30.60).
Поэтому для доказательства нашего утверждения о стремлении всякого решения основного уравнения (29.16), проходящего при t — t0 через какую-либо точку области U, к одному из стационарных решений, нам в случае рационального v остается установить справедливость предельного перехода (30.65).
Игак, приступим к доказательству предельного соотношения (30.65). Возьмем какое-либо решение fm итерационного уравнения (30.36), исходящее из начального значения <р0, произвольно фиксированного в интервале (0, 2тс).
Учитывая, что согласно (30.61)
?0 = ?ms - 2^Гт>
положим для сокращения
= ?ms - 2тс™-
Тогда согласно свойству 3), установленному Пуанкаре — Данжуа (см. стр. 389), имеем:
-a«<9m<Pm. (30.66)
где
ат > °. $т> 0, ат+ рт < 2%.
С другой стороны, согласно (30.19) и (30.59) можем написать:
?m*i = ?Ws - 2лг - 2ltmr = ф1 (9т,) - 2*тг-
Но так как
9тв = 9т+2^,
то, учитывая, что Ф,^ (9) обладает свойством периодичности второго рода, ийеем:
?т+1 = фг(?т)> (30.67)
и потому ввиду монотонного возрастания функции Фх (<р) в случае, если рассматриваемое решение итерационного уравнения (30.36) ф,п не является .периодическим, т. е. если числа <рт не постоянны по отношению
§ 30] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 397
к индексу т, последовательность
9о. 9l> ?2, •••.9т. *••
будет, монотонно убывая или возрастая, стремиться к некоторому пределу, являющемуся корнем уравнения (30.60).
Установим теперь следующие леммы.
Лемма а). Последовательность
9т(™ = °. !. 2. •••)
никогда не может «перескочить» через какой-либо корень уравнения (30.60)
9 = ф1 (?),
т. е. не существует такого целого т0, что
9то <9о <9^0+1 (30.68)
или
9т0 > 9о > {Р«1о+1‘ (30.69)
Доказательство. Допустим, что имеет место неравенство (30.68). Тогда вследствие монотонного возрастания функции Ф^ф) имеем:
Фг (9т0) < ®i(9o).
откуда, учитывая соотношение (30.67), получаем:
9то+1 < 9о>
что противоречит (30.68).
Аналогично доказывается также невозможность неравенства (30.69). Лемма б). Если последовательности
9m, <fm (m = 0, 1, 2, ...), (30.70)
соответствующие решениям итерационного уравнения (30.36), стремятся к различным корням уравнения (30.60), то между величинами
9т, 9т
всегда лежит, по крайней мере, один корень этого уравнения (30.60).
Доказательство. Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что здесь могут представиться два случая: 1) когда обе рассматриваемые последовательности одновременно возрастают или убывают и 2) когда одна из них возрастает, а другая убывает.
Рассмотрим вначале случай одновременного возрастания. Пусть, например, для определенности
/ а
9о>9о-
Тогда, так как обе последовательности возрастают и стремятся к различным корням уравнения (30.60), то, очевидно, что для всех т
9т > 9т-
Переходя к пределу, получим
9' > 9".
398
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
1Гл. VI
где <р' и 9" — корни уравнения (30.60), являющиеся соответственно пределами последовательностей <р„, 9^.
Благодаря монотонному возрастанию последовательности 9™, очевидно, получим:
Так как последовательность 9™ на основании леммы а) не может «перепрыгнуть» через 9", то для всех т имеем:
что и доказывает в рассматриваемом случае справедливость нашей леммы.
Аналогичные рассуждения имеют место и в случае одновременного убывания последовательностей (30.70).
Пусть теперь одна из последовательностей (30.70) убывает, а другая возрастает.
В этом случае знаки следующих двух выражений:
различны (так как одна последовательность возрастает, а другая убывает).
Поэтому на основании непрерывности уравнение (30.60)
заменяя в (30.47) т и Н соответственно на ms ш ns и вычитая из всех частей неравенства 2тсгт, получаем следующие неравенства:
(30.71)
9т > <?"¦
Из неравенств (30.71) и (30.72) получаем:
" ^ Н '
9rn < 9 < 9т I
(30.72)
9т+1 9 т — (9т) 9т-
9rn+ i - ?т = (9т) — ?т,
Ф1 (?) - ? = 0
имеет, по крайней мере, один корень в интервале
[9т> 9т] ¦
Итак, лемма б) полностью доказана.
Возвратимся теперь к рассмотрению неравенств (30.47):
9m, п + Ке-*Чт < 0т< 9;, т -Ке-^от (т = п,п+ 1, п + 2.....).
Полагая для сокращения
9ms, ns 2lWWl = 9т, п,
9ms, ns 2izrm = 9m, m
^ms 2,Tzrm ~ 6771,
(30.73)
9m, n + < 0m < 9m, n - Ke^o™
(m = n,n-(-1, n + 2, . ..), причем, полагая в (30.45) m = n и учитывая (30.73), находим:
(30.74) .
f 30]| ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 399
Если теперь для какого-либо фиксированного п при тп~-> со посл&-довательности
9т, п, 9т, п (30.76)
стремятся к одному и тому же корню ф0 уравнения (30.60), то из (30.74) следует, что
бт —-*¦ 9о ПРИ 171 со,
или учитывая третье обозначение (30.73), имеем:
Bms-2lzrm—>90> т->оэ,
что и доказывает наше утверждение.
Если же, наоборот, при любом п последовательности (30.76) при т—> со стремятся к различным корням уравнения (30.60), то на основании леммы б) в интервалах
