Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 135

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 .. 138 >> Следующая

402
ОБОСНОВАНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
Таким образом, приходим к уравнению вида (26.1). Соответствующее уравнение первого приближения (26.2) будет:
2гс
0
т. е.
Пусть уравнение
Аг (а) = 0
имеет нетривиальное решение
U --- &Q, Uq 0 ,
для которого
А' (ао) =? о •
Предположим также, что функция / (х, х') на плоскости (х, х') непрерывна со своими частными производными первого порядка в окрестности эллипса
Тогда на основании упомянутой теоремы можем утверждать, что при
достаточно малых значениях г точное уравнение (30.83) имеет периодическое решение
а = а0(ф)
с периодом 2%, близкое к а0. Это решение будет устойчиво в случае
оно неустойчиво и обладает свойством отталкивания.
Принимая во внимание сделанную замену переменных и второе из уравнений (30.82), видим, что рассматриваемое уравнение (1.1) имеет при достаточно малых е предельный цикл, соответствующий' периодическому решению, близкий к эллипсу (30.84). При условии (30.85) этот предельный цикл будет устойчивым, при условии (30.84) — неустойчивым.
Это как раз те выводы, которые были сделаны в излагавшейся ранее приближенной теории.
Перейдем теперь к исследованию колебательных систем, описываемых более общим уравнением (13.1):
(30.84)
(30.85)
(30.86)
S 30]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
403
Рассмотрим сначала случай резонанса, когда
»* = 0)' + .Д,
где р, q — взаимно простые числа.
Соответствующие уравнения первого приближения будут:
da=s^(a,&),
dt
(30.87)
где в силу (13.14), (14.23) имеем:
2 nq v
А(а, &)= 2лр 5 ^o(a’vZ’7'v* + &)sin(f'v*+&)d*>
2nq
V
(30.88)
Чтобы воспользоваться нашими теоремами, совершим в основном уравнении (13.1) замену переменных:
ж = $ cos—vi-j-ti sinvi, ~ — — ?— vsin—vi + т]— v cos — vi, (30.89)
Л q ' dt q q n ‘g q ’ K '
приведя его к системе в стандартной форме:
X(U,Tl), § = ^(i, 6.-П),
где
(30.90)
*(*, 1) =
F (г, 5, т)) sin. y-vi
.F (i, S, f)) cos — vi
Г(‘, 6, ч) =-----------------------------q—
F (*> Щ) = / (^tt, ? cos у vi -ц sin у vi, — v sin у vf -j- ttj v cos у vi^ —
— Д ( S cos — vi + г sin — vi V 9 9
Как видно, правые части уравнений (30.87) являются периодическими функциями t с периодом
Заметим также, что уравнения первого приближения, соответствующие системе (30.90):
2-п q
404
ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
[Гл. VI
эквивалентны уравнениям (30.87) и переходят в них посредством замены
? = a cos & , тг] = — a sin & .
Предположим, что уравнения (30.87) имеют постоянное решение
а = а0, & = &0 (30.91)
и что в окрестности эллипса
(30.92)
функция f(t, х, х') непрерывна со своими частными производными первого порядка по х, х .
Пусть, далее, оба корня характеристического уравнения, соответствующего уравнениям в вариациях для решения (30.81), имеют отрицательные вещественные части.
Тогда, очевидно, условия теоремы I выполнены.
Принимая во внимание установленные в ней свойства, можем утверждать, что в рассматриваемом случае, при достаточно малых а уравнение (13.1) имеет периодическое решение с периодом , близкое к гармоническому
a0cos(-^+?0).
Любое решение, проходящее через точку некоторой окрестности эллипса (30.92), будет асимптотически приближаться к периодическому решению при ? —> + со.
Пусть теперь уравнения первого приближения имеют периодическое решение с характеристическим показателем, вещественная часть которого отлична от нуля, и пусть функция f(t, х, х') в некоторой окрестности орбиты этого решения обладает непрерывными частными производными по х, х' до второго порядка включительно.
В этом случае условия теоремы II и теоремы III (с условием а)) выполнены.
Поэтому можем утверждать, например, что при достаточно малых г в некоторой окрестности указанной орбиты имеются стационарные решения, обладающие двумя основными частотами: «собственной» и «вынужденной». При иррациональном отношении этих частот стационарные решения квазипериодичны, при рациональном — периодичны.
В случае, когда вещественная часть характеристического показателя положительна, стационарные решения неустойчивы. Если, наоборот, эта вещественная часть отрицательна, всякое решение уравнения (13.1), для которого при каком-либо t0 точка
\lt) = x (t) cos — st — sin — st ,
4 ' v ' q V Я
-- V
Я
тг) ft) — x(t) sin— st + — ^ cos — st 4 w q ?v q q
лежит достаточно близко около указанной орбиты, асимптотически приближается к стационарному для t—>-f оо.
% 30] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 405
Перейдем теперь к рассмотрению нерезонансного случая, когда уравнения первого приближения имеют вид
^ = гЛ(а), ^ = «, + з В, (а), (30.93)
где Ах (а) В1(а) определяются формулами (13.15), (13.35):
27с 2тс
А (а)= ~ 4^; ^ ^ / (в, « cos ф, —¦ «к*» sin ф) sin ф с?ф db,
о о
2ъ 2п
Bi (а) = - ^ ^/(0, асоэф, — асо sin ф) cos ф йф с?0 .
о о
Для удобства применения теорем II, III совершим в уравнении (13.1) замену переменных:
х = a cos (ш( + ср), ^ = — au> sin (ш^ -|- ср).
Получим уравнения в стандартной форме:
~ = sA(\(, юг+<р, a), ^ = eB('it, шг «р, а), (30.94)
где
Л (0, ф, а) = —-/ (0, а cos ф, — аш sin ф) sin ф ,
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed