Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
¦*z({*-+b {*-}, {Х°})=( П [/(A+,n//(X‘^+)])x
М+М-) /
х( П Г1(Х~,Х°))а1({Х+},{Х-},{Х0}),
\(0), (+) / \(0), (-) / aZ({X + }, {Я."}, {X°}) = eZ({X-}, {А + }, {X0}). (6.17)
Здесь f(X, (i) = sh (a--(i f 2/ri)/sh(А— ц).
(5) Приведем несколько первых коэффициентов Фурье. В член Г2 ряда (6.8) входит только функция ^/i(Xi,X2) (^ = А+, Х,2 = Х,_):
<6Л8>
где обозначено Xjk = Xj—Xk.
Слагаемое Г3 содержит только s/UX^, Х2, Х3) (А,1 = А, + , Х2 = Х~, ХЭ = Х°):
.я/з(Я,1, х2, я.3) =
_4sin4т| sh(x.12 + 2ir|)______1_____/sh >.32 sh ).3 Д ^
sh2X12 sh(X12 —2г'г|) sh(X31+2i'ri)sh(X23 4'2!ri) yshX31 shX32y
Слагаемое Г4 содержит функции ¦"/% и л/%, приведенные в работе [14.4].
Функции Pn(t, {>.f}, {X }) обладают следующими свойствами:
204
ГЛ XII КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
(1) Эти функции симметричны при перестановке аргументов Xjе {>. f} и симметричны при перестановке Хке {).”} (по отдельности). Они также обладают следующим свойством (t — вещественно):
(4) Рп-> 0 при 2г|->я/2, первые два члена разложения по е = (я / 2) — 2г| есть:
В заключение сделаем следующее замечание. При исследовании коррелятора и, особенно, вычисления его асимптотики на больших расстояниях удобно иметь дело не непосредственно с магнетиком Гейзенберга, а с «обобщенной XXZ моделью». В обобщенной XXZ модели функции ро(Х) и ?0 Р-) уже не даются формулами (6.2),
(6.3), а являются произвольными (требуется только, чтобы структура основного состояния в модели в термодинамическом пределе соответствовала заполнению зоны Ферми — А ^ А). Это следствие произвольности функций а(Х) и d(X). В обобщенной модели можно ввести оператор числа частиц в первых т узлах решетки Q i (т)\ для XXZ магнетика
(оператор Q = Q^(M)— это оператор полного числа частиц: 21^) = ^!^)). Вычисления среднего значения оператора Q i (т) проводятся буквально по той же схеме, что и оператора Q i (х) (5.2) модели НШ В результате для него получается представление, аналогичное представлению (5.2)—(5.12):
(Qi и> = <П I Qi ИI П> /<П I = <6? Н>°+«Qi и». (6.24)
Первое слагаемое в правой части дается формулой, аналогичной
(5.5), оно не дает вклада в нетривиальную часть коррелятора, и мы его не выписываем явно. Второе, нетривиальное, слагаемое в правой части (6.9) представляется в виде бесконечного ряда
PJ(r,{a.+}, {АГ}) = Л,(г, {Яг*}, {А.+*}).
(2) Л,(г,{А.+}„, =
(3) |Р„(г,{Х.+}, {Х.-})|<1/я.
(6.20)
(6.21)
Pn(t)=-~ ? [th(Xj+-t)-th(Xj -f)]-71 j=i
-hie2 cth (x.;+1)- cth (x.; +1)+
+ 0(e3). (6.22)
m
eiN=X?j, ^^=(i—or<:j))/2
(6.23)
OO
«е?И»= I rt(/n),
(6.25)
k= 2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
205
где Г, (т) даются формулами (6.10)—(6.14). Нетрудно проверить, что «ст<.т+1)ст!1)» = 2^(2) «б?И» Для XXZ магнетика, что восстанавливает формулу (6.8).
Совершенно так же можно получить представление типа (5.4),
(5.8) для величины (Qf (.*)> в «обобщенной модели НШ». Эта модель отличается от модели нерелятивистского бозе-газа тем, что голый импульс Ро(Х) и голая энергия е0 (к) являются произвольными функциями. Это следствие произвольности функций а (к) и d(k). Более точно, надо потребовать, чтобы р0(к) = — р0{ — X), р'о(к)>0 и чтобы основное состояние модели имело ту же структуру, что и для бозе-газа (т. е. представляло собой зону Ферми, заполненную частицами с — q^k^q).
Ниже мы увидим, что наиболее важные физические характеристики моделей (такие как критические индексы) не зависят от произвольных функций РоЩ и е0 (X), а определяются только /{-матрицей и значением спектрального параметра на границе зоны Ферми.
Заключение
В основу этой главы легли результаты работ [12.8; 12.9; 12.11]. Вопрос о вычислении корреляционных функций — один из важнейших при исследовании моделей квантовой теории поля и статистической физики. Дело в том, что знание этих функций позволяет найти все физически интересные характеристики моделей. Поэтому уже давно предпринимался целый ряд попыток вычислить корреляционные функции в двумерных моделях, в которых основное состояние представляет собой море Дирака над псевдовакуумом (именно в таких моделях нахождение корреляционных функций является нетривиальной задачей) [12.7]. Например, для двумерной модели Изинга (эквивалентной модели свободных фермионов) корреляторы вычислены в работах [12.5; 12.6].
Вопрос о вычислении корреляционных функций в одномерном бозе-газе с помощью анзатца Бете впервые поставлен в работах [12.13; 12.14], где исследовался коррелятор полей <vj/+ (х) vj/00) ПРИ с =оо и было получено для него представление в виде ряда. В работе [12.10] этот ряд был исследован; было доказано, что он удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Пенвеле.
Метод вычисления корреляционных функций в рамках квантового метода обратной задачи, описанный выше на примере коррелятора токов в модели НШ, является весьма общим. Он позволяет вычислять как другие корреляторы в модели НШ, так и корреляционные функции в любых интегрируемых моделях с Л-матрицей XXX или XXZ моделей. Например, представление для коррелятора полей и многоточечных корреляторов в модели НШ были получены в работе
[12.3]. Коррелятор третьих компонент спинов в XXZ антиферромагнетике Гейзенберга вычислен в [12.1; 12.9]. Метод может быть обобщен и на модели с другими Л-матрицами.
