Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Перечислим основные свойства функций Px(t, Хи Х2) и функций Л(^Д2) (1-Ю):
1) P\(t, Хи = *.*,), p\(Xl, X2)=Pl(X*2, XI);
2) Р,(/, X, М=0;
3) P,{-t. -ки -Хг) = Р,{т, Х2, Xt);
4) если /-!=&*, X2 = ol (lfiltx>0, lmf = 0), то 1тР1(/, а*, а)=0, так как S (t)— вещественный множитель;
5) в пределе сильной связи
у = + (3.6)
Pi(luX2)= (3.7)
§4. Предел сильной связи
йфед тем как перейти к исследованию поведения коррелятора токе® на больших расстояниях, рассмотрим предел сильной связи с-+оо. В этом пределе ряд (2.7) особенно эффективен, а ответы просты и наглядны.
§ 4 ПРЕДЕЛ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ
213
В точке свободных фермионов с = оо имеем:
«Л*)Д°)>г = -
4п2
1+ехр
X2-h
dX
(4.1)
<Д0)>Г = Аю =
2 п
dX
1+ехр
X —h
(4.2)
Для того чтобы получить 1/с поправку к этому выражению, вспомним некоторые результаты § 1.7. С достаточной для рассматриваемого случая точностью имеем (см. (1.7.18)):
z(X) = X2-h(T),
Т Г ft- х2 о
h(T) — h-\— In (\-\-e~r~)d'k = h-\--t
' j
— 00
Здесь — давление. Вес (о(Х) (1.8) стремится к
ю(Х) = ехр^ —DA,
(4.3)
(4.4)
а функция была вычислена в предыдущем параграфе, см.
(3.7). Используя явный вид коэффициентов Г2 и Г3 (1.11), (1.12), после несложных преобразований получаем:
С + со "Ч 2
e'Xx'dX
,-“да1 +ехр
\X2-h(T)
й)'
п
dXj
ixO-2-Х,)
2kjc J J 'i \X2 — h
-do v‘4+exp
+ 0
(4.5)
Последний интеграл доопределен в смысле главного значения. Здесь ха —х [1+2Dxjt\, В этом пределе (см. (1.7.18))
t \+2DJc
Р(М = —г -... г,2 -,./TnV- (4-6)
2ft +«хр Следовательно,
X2 — h(T)
214
ГЛ. XIII. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
Вернемся к формуле (4.1) и обсудим поведение коррелятора токов свободных фермионов для больших х. Это просто сделать, так как правая часть (4.1) представляет собой интеграл Фурье. Чтобы вычислить асимптотику, нужно сдвинуть контур интегрирования. Основной вклад в асимптотику дадут ближайшие к вещественной оси полюса фермиевского веса 9_1(Х)= 1+ехр{(Х2 — h)/T}, расположенные в верхней полуплоскости, см. (1.6.27), (1.6.29):
Т2 е2Ш
«д*)до)»г~ -адте"2х1тя+T2Re^j- (4-8)
Здесь
a. = yfh + inT, Rea>0, lma>0. (4.9)
Выражение для асимптотики (4.8) упрощается в пределе низких температур:
«Д*)Д0)»г~-T2(^Je-x/rc. (4.10)
Здесь корреляционный радиус rc = v/(lnl), и скорость звука v = 2q.
Рассмотрим теперь коррелятор в точке свободных фермионов с = оо при конечных расстояниях х. Устремим температуру к нулю и посмотрим, какие будут поправки к выражению для коррелятора при Т= 0 и с= оо.
На небольших расстояниях х<гс коррелятор (4.1) ведет себя следующим образом:
„ •/ \ /„IV. /sinqx\2 Т2 Гsin2qx . ,
ОМЛо)»^-^—] +TvL^r+!,n ч\
+о(т+).
§ 5. Асимптотика на больших расстояниях
Обобщим результаты предыдущего параграфа на случай произвольных констант связи с. Асимптотику коррелятора на больших расстояниях будем вычислять, пользуясь аналитическими свойствами коэффициентов разложения коррелятора токов (§ 1.6), (2.7). В § 1.6 мы подробно исследовали свойства функции е (А) и фермиевского веса 9(A). Было показано, что нули функции 9"1 (X) существуют и обязательно лежат в комплексной плоскости, образуя четырехугольник:
a, а*, —а, —а*; 1та>0. (5.1)
Ближайшие к вещественной оси особенности функции е(Х) лежат на расстоянии Jm (a + ic ) от вещественной оси. Вес со (X) также можно продолжить в комплексную плоскость, его ближайшие особенности
§ 5. АСИМПТОТИКА НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ
215
лежат на таком же расстоянии от вещественной оси. Аналитическое продолжение функций ? и со обладает свойством:
е*(Х) = е(Х*), оо*(Х) = оо(Х*),
е( —Х) = е(Х), со(-Х) = оо(Я).
(5.2)
Рассмотрим коррелятор токов, ограничившись лишь первым членом разложения (1.12):
со'ИЛ0)»
т~2 8х2 2^~
+ оо +00
= — |* d'kl |* tfX2co(A.2)S(^2);
— Х2 + *с "k1—"k2 — ic
Pi ft-i ^2)
Xj — A-2
exp2(\i, X2)
(5.3)
Исследуем это выражение в пределе х —> оо. Сдвинем контур интегрирования по переменной в нижнюю полуплоскость, а контур интегрирования по Х2 — в верхнюю. Ближайшим препятствием при сдвиге контура являются полюса веса Ферми S(i) (5.1). В этих точках Э(Х) имеет полюс первого порядка:
Щ
е(а)
s'(a)(X—а) ’
е т = — 1, e(a) = inT.
Выпишем вклад этих полюсов в выражение для 2 Т2
т (а) 2 /21та—А Pi («*, а)
8'(а) V^Ima + c у 21т а
2 дх2 ехр {хр^а*, а)} +
Г2(х):
+ 2Т2 Re
j(a) \2 (2а—ic '(а)J ^а+гс
1
2а
ехр{х/>х(-а, а)}
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Для вычисления остальных вкладов в (5.3) следует контур интегрирования еще дальше отодвинуть от вещественной оси, что приводит к выражениям, убывающим по х быстрее, чем (5.5), (5.6). Соображения, основанные на теории возмущений, показывают, что слагаемое (5.6) убывает при х-»оо быстрее, чем (5.5). Итак, асимптотика (5.3) на больших расстояниях имеет вид:
«j(x)j(0)y>T~e-x"'; (5.7)
здесь гс—корреляционный радиус:
1 +00
— = — р1 (а*, а) = 21та— j- dtS^P^t, а*, а)>21та>0.
(5.8)
216
ГЛ. XIII. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
Напомним, что рг (а*, а)— вещественна, а
+ оо
- J *Э(*)Л(Л а)>0.
— 00
Рассмотрим вклад Г3 (1.12) в разложении коррелятора. При х —> со его можно вычислить так же, двигая контур по в нижнюю, а по Х2 в верхнюю полуплоскость, л3 — остается вещественным. При этом ведущими снова являются полюса (5.1). Аналогично можно проанализировать слагаемые ряда для коррелятора и в высших порядках теории возмущений [13.5]. Это приводит нас к гипотезе
