Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
194
ГЛ. XU. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Ясно также, что
\S(t)exp{KP„}\^l.
(4.6)
Отсюда получим:
(4.7)
Докажем теперь неравенство
I Рп + 1 (0 ¦- Р* (') К ^ {^1рп ~ Рп ~ 1 1} (')•
(4.8)
Напомним, что собственные значения оператора К/(2л) положительны и строго меньше 1 (см. § 1.3). Из неравенств (4.8) следует, что последовательность (4.4) сходится в if 2 на отрезке (для доказательства используется метод сжатых отображений). Приступим к доказательству неравенства (4.8). Для этого из уравнения (4.4) вычтем уравнение
Здесь z 1 и z2 — два комплексных числа, лежащих в левой полуплоскости. Применив это неравенство к (4.10), получим
Здесь мы воспользовались положительностью ядра К. Итак, неравенство (4.8) доказано. Это означает, что предел последовательности P„(t) существует. Итак, теорема 1 доказана.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 2. Существует единственное решение уравнения (4.1). удовлетворяющее неравенству (4.2).
Доказательство. Предположим, что существует два решения (4.1), (4.2) Pi(t) и P2(t). Легко доказать, что
Умножим это неравенство на | Pj (t) — Р2 (f) | и проинтегрируем по /, получим
(4.9)
Получим
Ря+1 (t) - Р„ (t) = (S (*)/(2я)) (ехр [КР„ (/)} - ехр {*/>„-, (г)}).
(4.10)
Воспользуемся теперь известным неравенством
lexp {гг} — ехр {г2}| — г2| (Rez^scO).
(4.11)
(4.13)
§ 4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
1У5
Это неравенство противоречит положительности квадратичной формы, доказанной в §1.3 (см. формулу (1.3.10)). Таким образом, Pl(t) = P2(t), что завершает доказательство теоремы 2.
Приведем некоторые следствия доказанных теорем.
(j) Если 5(0=1, то Р(0 = О ( — q^t^q). (4.15)
(2) Решение P{t) — ограниченная функция на отрезке [ — <:/, </]:
|Р(01<1/л, -q^t^q. (4.16)
Рассмотрим теперь функцию S(t), которая отлична от единицы на отрезке —q^t^q, и докажем, что ReP(?) не обращается в нуль ни в одной точке.
Теорема 3. Если S(t) не равна тождественно единице на отрезке [ — q, q\ и удовлетворяет неравенству (4.3), то Re P(t ) не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.
Доказательство. Вычислим квадрат модуля обеих частей уравнения (4.1):
[1 + 2лЯеР(г)]2+4я2[1тР(г)]2 =
= |5(?)|2exp{2Re J K[t, s)P(s)ds} ^
-q
q
s$exp{2 | K(t, s)ReP(s)*}scl. (4.17)
-q
Отсюда видно, что если Re P(u,) =0 в какой-то точке t0 ( — q^t0^q), то и 1шР(г0) =0, т. е.
^(*о)=0, если Re/,(?o)=0. (4.18)
Напишем уравнение (4.1) в этой точке:
1 = 5(г0)ехр| j A:(?0,5)P(i)^|, (4.19)
откуда следует, что
9
1= |5(г0)|2ехр|2 j" K(t0, s)ReP(s)ds^. (4.20)
Имея в виду неравенства (4.2), (4.3) и положительность ядра К. приходим к выводу, что |5(f0)| = 1 и
9
| K(t0, s)ReP(s)ds = Q. (4-21)
196
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Учитывая, что ^(ro,«)>0, a ReP(s)<0, заключаем, что
ReP(s) = 0 ( — q^s^q). (4.22)
Вернемся к неравенству (4.17); из него следует, что и
lm/>(s)=0 (- q^s^q). (4.23)
Подставим функцию />(/) =0 в уравнение (4.1). Оно может при этом удовлетворяться, только в случае
5(г) = 1 (4.24)
На этом завершается доказательство теоремы 3.
Изучим теперь следствия доказанных теорем.
1) Функция
S(t) = exp {ct} при Recx = 0 (4.25)
удовлетворяет условиям всех теорем этого параграфа и, следовательно, эти теоремы справедливы для уравнения (2.25), полученного в § 2.
2) Функция
S(l)= [(^i~ t + ic)j(Xi — t — гс)][(Х2 — г — ic)j(X2 — г + г'с)] (4.26)
при вещественных >, j и Х2 также удовлетворяет неравенству (4.3). Значит, все теоремы этого параграфа справедливы для уравнений
(4.1) с такой функцией S(t). В этом случае решение Pit) будет параметрически зависеть от и Х2. Очевидно, что P\f, Xi, X2) можно аналитически продолжить по параметрам в область (см. (1.2.4))
1тг = 0, ImX^O, ImX2^0, (4-27)
так как в этой области функция (4.26) удовлетворяет неравенству
(4.3). Приведем еще ряд очевидных свойств функции P(t: Аь Х2):
Re P(t; Хь Х2) <0, если Xi^X2; (4.28)
P(f,X,X)= 0; (4.29)
Р'(кк1,‘к2) = Р(1'-Л\Л'2); (4.30)
P(-t¦ -Хи -Х2)=Р(1Л2Л1)- (4.31)
При с->оо функция S' (г) (4.26) устремляется к 1. Решения Р(t; Аь Х2) при этом устремляются к нулю. Приведем два первых члена разложения по (1/с):
P(r, XuX2) = -(X1~X2)(l+2D/c)-—2(X1-X2)2 + 0(l/c3). (4.32)
Здесь D = N/L.
В заключение отметим, что функция
ЭД’ДЛ,4В)
§ 5 КОРРЕЛЯТОР ТОКОВ В МОДЕЛИ БОЗЕ-ГАЗА
197
также удовлетворяет неравенству (4.3) в случае вещественных t. Все теоремы настоящего параграфа справедливы, следовательно, и для уравнения (3.2). Свойства решений этого уравнения приведены в конце предыдущего параграфа.
§ 5. Коррелятор токов в модели бозе-газа
Суммируем изложенное в предыдущих параграфах и сформулируем основной результат этой главы—представление для коррелятора токов в модели бозе-газа с точечным отталкиванием частиц, подробно описанного в гл. I (см. также введение к части III). Оператор j(x) плотности числа частиц есть
Дх)='1'+(*Жх). (5Л)
его мы назовем оператором тока (5.1). Оператор Qi{x) числа частиц на отрезке [0, лс] (0 ^x^L) дается формулой
X X
Qi(x)= J\|/ + (x)^(x)dx= \j(x)dx', (5.2)
о о
его среднее значение по основному состоянию |?2> (см. (2.40)) есть
