Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
<ei(*)>=<niei(*)in>/<nm>=/>*, (5.3)
где D — N\L= j p(k)dk—полная плотность частиц. Особое значение
-« ..
имеет среднее значение (Q f (*)>, через которое выражается коррелятор токов. Для этой величины доказано представление (1.7):
<e?(x)>=<Qief(x)iQ>/<QiQ>=<ef(x)>o+«e?(x)». (5.4)
Здесь (.Qi(x)y° дается формулой (2.43):
(Ql(x)y° = x2 D2+4n2x j р(t)(P'(t))2dt. (5.5)
-я
Функция P’(t) определяется уравнением (2.41)
2nP’(t)- ) P'(s)K(t,s)ds=\ (5.6)
-9
с ядром
А:(Я,ц) = 2с[с2+(Я-ц)2]-1. (5.7)
Величина q — фермиевское значение спектрального параметра.
198
ГЛ. XI! КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Второе слагаемое ((Q \ (х) в правой части (5.4) задается в виде
«е?И»= I Гк{х). (5.8)
к= 2
Величина Гк(л:) описывает вклад /г-частичных процессов (см. § 3) и дается ^-кратным интегралом (с весом со (Л)) от одетой неприводимой части li (3.6):
г.М=^| Дп2—)';!*.!!))- (5.9)
Вся зависимость от расстояния л: здесь входит в одетые неприводимые части 1( ((3.3)—(3.5)):
Н{х, (*.}) =
? ехр{*р„({^+}, {А.-}Цг({А.+ }, {А."}, {X0}). (5.10)
{M=4a‘}U{»t}UU0}
Сумма в правой части берется по всем возможным разбиениям набора {Я.}* = {Х,ь..., Я.*} (card{X} = /r} на три непересекающихся набора {^}п и {Х°}к-2п (card {Х+} =card } = и,
card|X,°}=/r—2и). Коэффициенты Фурье .я/? — те же, что и в голой неприводимой части (XI.2.15); их свойства подробно рассмотрены в § XI.2. Они зависят только от Д-матрицы. Явный вид коэффициентов Фурье, встречающихся в первых трех членах ряда (5.8), приведен в (XI.2.16)—(XI.2.24). Функция р„({^+}> {^~}) (я>1) в (5.8) определяется как
рп({Х+}, {*-})=-« i (кГ-ХТ)+ } Pn(t, {к+}, {*¦-})*. (5.11)
j= 1
Здесь Р„ — функция, определяющаяся нелинейным одевающим уравнением (3.2), подробно исследованным в § 4:
1+2ЯЛ(0= П ')//('• V ))(/('> Я.7)//(А.г, f))x \j=i
xexpj | K(t, s)P,(s)rfs|; ReP„(?)^0. (5.12)
Здесь /(X, |д) = (). — ц + / с) / (). — |д) — матричный элемент Л-матрицы XXX модели ((V.3.17), (V.3.18)). Ядро К(Х, ц) дается формулой (5.7). Наконец, вес со(Х) в (5.9) есть (см. (2.15)).
§ 5. КОРРЕЛЯТОР ТОКОВ В МОДЕЛИ БОЗЕ-ГАЗА
199
Эта функция удовлетворяет, как легко проверить, условиям 0<е_1<ю(Х.)<юо<1,
(5.14)
ю0 = ехр { —2cq/(n{c2 + 4q2))}.
Таким образом, к-й член Г\ ряда (5.9) содержит фактор co^cof, (ю0< 1); именно это и приводит нас к гипотезе о сходимости ряда. Отметим, что в пределе сильной связи (с-> оо) величины Г* малы (см. § XI.2): Гк~с2~к, поэтому разложение (5.9) аналогично (1 /с)-разложению. В то же время Гк не является мономом по r( \ j с ).
Итак, формула (5.3) дает среднее значение оператора QA (х)
(5.2), а формулы (5.4) —(5.14)—среднее значение оператора (Qf(.т)>, введенного в § 1.
Приведем теперь окончательный ответ для коррелятора токов в бозе-газе. Оператор тока j(x) есть /(л) =\|j + (х) \|j(x) (все операторы рассматриваются в один момент времени, и временной аргумент опускаем). Введем обычным образом нормальное произведение двух токов:
:/(л)/(0): = x|i+ (,v)x|i+ (0)^(x)x|i(0). (5.15)
Нетрудно проверить, что
</(^)7(0)> = <iQ|7(^)7-(0)|n>/<n|n> = <:/(.х)7(0):> + S (л:) </(0)>. (5.S6) Используя (5.3), находим:
<j{x)> = <J(0)> = D = NIL= J p(X)d\ = d<Q1(x))/dx. (5.17)
~ч
Для среднего от нормального упорядоченного произведения операторов тока получаем:
<:7(^)7'(0):> = (1/2)(д2/дл:2)<е ?(-ф = О'(0)>2 + <О'(-Ф'(°)>>- (5.18)
Первое слагаемое в правой части соответствует вкладу величины (Q i(x)y° (5-5): <j(0)>2 = D2. Нетривиальная часть коррелятора
«7'W7'(0)>^0 ПРИ х~>со; она есть
00 1 h2
«/МД0)»= —ВД, (5.19)
где Г\ (.*) дается формулами (5.9)—(5.13). Подчеркнем, что дифференцирование по х функции Гк(х) сводится к дифференцированию экспоненты в (5.10).
В пределе с->со, как отмечалось выше, Гк~с2~к. Поэтому, чтобы получить из ряда (5.19) обычное разложение по степеням (1/с) в данном порядке, достаточно использовать лишь конечное число членов ряда. В нулевом порядке (т. е. при с=оо) достаточно знать Гг- При этом АГ(Х., ц) = 0 (с=оо) и, воспользовавшись явным видом (XI.2.16), получим
О'(*).Д0)>=(я/я)2 —(sin(tfx)/(rc.x))2 (с= оо). (5.20)
200
ГЛ XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Чтобы вычислить первую поправку к этому выражению при с-> оо, нужно учесть вклад /3 (XI.2.18) и формулу (3.7). В результате получим:
О'М./(°)> = (Wя)2 + (4/с) (Wя)3 - (1 + (2/с) {д/ter)) х
х (sin (l7.Yr)/(n.vr))2 +
2 д л2 с дх
sin (qx
dXsin (X x) In ^^
sm qx
+ 0(l/c2). (5.21)
2 q
Здесь xr = 1 н— }x. Поправка к этому выражению имеет порядок / , \ пс/
(1/с ) при любом х. Таким же способом легко вычислить любое слагаемое в формуле (5.19).
Итак, мы сформулировали окончательный ответ для коррелятора бозе-1аза (модели НШ). Подчеркнем еще раз, что доказательство формулы (5.19) возможн лишь в рамках алгебраического анзатца Бете с использованием обобщенной модели.
§ 6. Коррелятор спинов в XXZ магнетике Гейзенберга
Техника, описанная в §§ 1—5, является весьма общей. Она применима не только для коррелятора токов в модели НШ, но и для вычисления корреляционных функций в любых моделях, обладающих Л-матрицей XXX модели ((VI. 1.3), (VI. 1.4)) или XXZ модели ((VI. 1.3), (VI. 1.5)), которые решаются с помощью алгебраического анзатца Бете. Мы приведем ответ для одновременного коррелятора третьих компонент спинов в одномерном XXZ магнетике Гейзенберга. Схема вычислений по существу та же, что в XXX случае, подробно рассмотренном ранее. Необходимые изменения подробно изложены в работе [12.9], результаты которой излагаются ниже.
