Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, что XXZ магнетик Гейзенберга описывает взаимодействие спинов 1/2, расположенных в узлах одномерной решетки. Эта модель подробно описана в гл. II (см. также § V.5, где обсуждается ее связь с общей схемой КМОЗ). Оператору спина в т-м узле решетки (m= 1, ..., М) соответствуют матрицы Паули сНт), ст ст '"‘К Гамильтониан модели во внешнем поле А, направленном по оси z, дается формулами (11.1.1), (II.1.2). Параметр анизотропии Д связан с «константой связи» т| в /{-матрице соотношением Л = cos 2т|. (Значение 2г|=0 соответствует изотропному XXX ферромагнетику; 2г| = я/2 — свободным фермионам. При 2г| = л имеем изотропный антиферромагнетик.) Мы будем рассматривать только антиферромаг-нитную область
0<2т] <я/2.
(6.1)
§ 6. КОРРЕЛЯТОР СПИНОВ В XXZ МАГНЕТИКЕ
201
м
В этой области ферромагнитное состояние |0> = ®1Т)т не является
1
основным состоянием гамильтониана (при | h \ ^ hc = 4 sin2 г|). Возбуждения над ферромагнитным состоянием спиновой волны описывается в терминах голых частиц с импульсами и энергиями р0, ?0, которые в терминах аддитивного спектрального параметра X записываются так (см. § II. 1):
Ро (X.) = i In [ch (X — i r|)/ch (X + i T|)], (6.2)
?0(X)= — 2sin2ri (dp0(X)jdX) + 2h. (6.3)
Основное состояние гамильтониана | Q) получается заполнением этими частицами зоны Ферми — А^Х^А. В термодинамическом пределе число узлов решетки М -> оо и число частиц в основном состоянии N-*ao, причем плотность D = NjM остается конечной. Плотность р (>.) распределения частиц по спектральным параметрам дается линейным интегральным уравнением (см. II.2.6)
р(Х.) 1
2 п
К(Х, n)p(n)fifn=^0^
2 п
-л
где К—ядро, которое вычисляется по /{-матрице XXZ модели (см. II.2.7):
A"(X., n) = sin4r| [sh(A. — ц + 2г r|) sh (А. — ц — 2гг|)]“1. (6.4)
Фермиевский спектральный параметр А определяется из условия равенства нулю энергии одетого возбуждения на границе зоны Ферми и зависит от магнитного поля (А=оо при h = 0; А = 0 при h = ht). Полная плотность частиц D выражается через р (X): л
0^D = lim(NjM) = j p(X)dX^\j2. (6.5)
-л
Рассмотрим теперь одновременной коррелятор третьих компонент спинов:
<0г(т+1)0г(1)> = <П|0г(т+110г(1)|П>/<П|П> = <0г(1,>2 + «0г(т+1)0.(1,»_
(6.6)
Первое слагаемое здесь есть просто квадрат намагниченности ст (см. § II.3.3):
CT=<CT^>> = <CT<m)> = l-2D. (6.7)
Второе слагаемое в (6.6) описывает корреляции и стремится к нулю при т-* оо. Оно представляется в виде
«а<т+1,а<1)» = 2 ? @(2}Гк(т), (6.8)
к = 2
202
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
где 3>{2) — оператор второй производной на решетке, действующий на функцию f(m) узла решетки по правилу
2д{1) f(m)=f(m+ \)+f(m — \ ) — (6.9)
Величина Г^, дающая вклад ft-частичных процессов в коррелятор, есть /с-кратный интеграл: л
г.И— f!Ч). (6.10)
-л
Эта формула аналогична (5.9). Вся зависимость от расстояния т входит в одетые неприводимые части If, определяемые в полной аналогии с (5.10) — (5.12):
1йк(т,{Х}) = ?• ехр{тр„({Х+}, {ХГ})х
{Я.-},, {X.V2„}. (6.11)
Сумма здесь берется так же, как в (5.10). Функция р„ дается формулой, аналогичной (5.11):
р„({Х+},
= -iiipo(K)-Po(K))+ I + (6.12)
j=i -л
где, как и в (5.12), функция Р определяется следующим нелинейным интегральным уравнением:
1+2яР4/)=п(;^^|^]) exp{)AJS:(r, s)Pn(s)dS};
RePn^Q. (6.13)
Однако теперь /(>., ц.) = sh (X — ц + 2 г г|) / sh (). — ц)— матричный элемент ^-матрицы XXZ модели ((VI. 1.3), (VI. 1.5)), а ядро К дается формулой
(6.4). Коэффициенты Фурье в (6.11) тоже определяются ^-матрицей XXZ модели. Их основные свойства, а также явный вид " при к= 2, 3 приведены ниже (см. (6.18), (6.19)). Наконец, вес ю(Х.) в (6.13) дается так
ю(Х.) = ехр {J К(Х, ц)Лц}. (6.14)
Zn - А
Заметим, что при 0<2r|<Jt/2 (6.1) (т. е. в области, где выпукло действие Янга; см. (V.1.19)— (V.1.24))
0<ю(Х.)<ю(А)< 1 (0<2г|<я/2), (6.15)
что приводит нас к гипотезе о сходимости ряда (6.8) в этой области. При изучении асимптотики корреляторов в гл. XIII мы
§ 6 КОРРЕЛЯТОР СПИНОВ В XXZ МАГНЕТИКЕ
203
будем рассматривать также случай я/2<2г|<я; соответствующие ответы получаются аналитическим продолжением из области (6.1).
Заметим, что члены ряда (6.8) малы в окрестности свободных фермионов (2г|-»я/2): Г*~("п — я/4)к — 2 (см. ниже (6.16)). Это позволяет извлекать из (6.8) обычный ряд по константе связи в окрестности свободных фермионов; при этом вклад в данном порядке по (т) — я/4) дает лишь конечное число членов ряда (6.8).
Итак, формулы (6.8) — (6.14) дают представление для одновременного коррелятора третьих компонент спинов в XXZ магнетике.
В заключение остановимся на свойствах величин, входящих в выражение для Гк(т) (6.10). Коэффициенты Фурье у/ ”к обладают следующими свойствами.
(1) В окрестности свободных фермионов
^;~/2~Г4-[(я/2)-2л]*-2 (2г| ->я/2). (6.16)
(2) {X-}, {X0}) является симметричной функцией аргументов {X+ j, аргументов {X'} и аргументов {А.0} (по отдельности).
(3) Коэффициенты Фурье — рациональные функции от ехр{А;}
(x.,e{x.} = {x.+}U{x-}U{x0}).
(4) При перестановке + }
sf1({Х +}, {X-}, {Х°}) = [^1({Х-}, {Г*}, {А.0*})]*,
