Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 64

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 84 >> Следующая

Е(а, [x]) = liniiiJy(a, [х]) = ехр| | x(t)P(t, a)</fj. (2.38)
Здесь Р удовлетворяет уравнению
l+2nP(t, сс) = ехр{сс} ехр< j К(t, 5)Р(s, a)dsi (2.39)
и неравенству Re
Итак, термодинамический предел величины EN(ct, [х]) вычислен. Обратимся теперь к следствиям. Напомним, что в модели НШ
§ 3. ВКЛАД ^-ЧАСТИЧНЫХ ПТОЦЕССОВ
191
функция х (X)—это просто расстояние х: х(Х) = х (см. (1.3)). С учетом этого получаем для среднего значения (Qi):
(Qi> = <П Ifii I П)/(П | П> = lim(|| б! II */ll 1 IU) =
= dE/d<x\a = 0 = x J P'(t)dt, (2.40)
~q
где функция P' определяется линейным интегральным уравнением
2кР'(Х)~ J К(Х, \i)P'(\i)d\is(2n-K)P'=\. (2.41)
Учитывая уравнение для плотности р (X) (1.5), получим: Р’ (X) = р (X), (Q,) = x ] p(t)dt = xD, (2.42)
-q
где D = N/L (1.4)—полная плотность частиц в основном состоянии. Для величины (Q\)° получаем окончательно:
(Ql)° = lhn(\\Ql\\N/\\l\\N) = d2E/daLX = 0=x2D2 +
+ х |,P"(t) dt = x2D2 + x | p(t){2nP'(t))2 dt. (2.43)
-q
Здесь функция P"(t) определяется уравнением (2к — К)Р" = (2пР')2.
Таким образом, мы вычислили первое слагаемое в правой части представления (1.7).
§ 3. Вклад ^-частичных процессов
Рассмотрим теперь вклады остальных слагаемых в представлении
(1.7) для (Q2). Вычислим термодинамический предел Г* величины r*iJV (XI.4.26). Сначала займемся пределом функции E„tN-k (XI.4.29).
Теорема 1. Термодинамический предел функции Еп N-k({X + }, {X-}, {X'}) равен ?„([х], {Х+}, {*.-}):
Ч И, {Х+}, {Х-}) = ехр| j x(t)P„(t, {X+j, (3.1)
Функция P„ однозначно определяется интегральным уравнением
(f(X),t)lf(uX)))y-
x(f(t,Xllf(X-j,t)) (3.2)
и неравенством ReP^O. Здесь — q^Xj^q.
Доказательство аналогично доказательству, приведенному в § 2. Теорема существования и единственности для уравнения (3.2) доказана
1 +2к Р„(t) = ехр | K(t, s) Р„(s) ds| П
192
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
в следующем параграфе. Термодинамический предел величины li,N (XI.4.28) равен fdk:
flf([x], {П)= ? ^2({Х + }„,{Х'}„,{Х°Ь-2„)х
х Е„([х], {Х+}, (3.3)
j = i
Напомним, что в модели НШ функции х(Х) и /(X) зависят от расстояния х (см. (1.1), (1.3)): х(X) = х, /(Х) = ехр { — ixX}. Выписывая эту независимость явно, получим:
{Х})= X + }и5 {X0}* —2n) X
хехр{л:/?„({Х. + },{Х })}, (3.4)
где функция р„ есть
А.({Х+}, {^~}) = — I ? (Xj —Х]) + | P„(t, {Х+}, {X.'})<*. (3.5)
j= 1 -ч
Таким образом, одевание неприводимой части соответствует замене плоской волны ехр { — ixY (Xf — X/)} в голой неприводимой части (XI.2.15) на функцию ехр{ — ixp„({X + }, {Я,-}). В пределе для величины rk'N с помощью формулы (2.23) получаем асимптотическое выражение
Г*,я = I И(х, {X1}) П [ю{Х))/(2п Lp(X'))].
{М=ОТ,j= 1 Заменяя стандартным образом сумму на интеграл, получим окончательное выражение в виде /г-кратного интеграла:
n(^^hyk{x,{Xk}). (3.6)
Вес со(Х) дается формулой (2.15). Вся зависимость от расстояния х функции Гк (х) входит через неприводимую часть (см. (3.4)).
Таким образом, мы получили термодинамический предел всех слагаемых в представлении (XI.4.25). В следующем параграфе будут подробно исследованы одевающие уравнения (3.2) и доказана для них теорема существования и единственности. В § 5 приведена сводка основных результатов для коррелятора токов в модели НШ.
В заключение приведем список свойств функций P„(t, {л+}, {X-}), которые являются решением уравнения (3.2); эти свойства легко получить из определения и результатов следующего параграфа:
1) При комплексном сопряжении
Pl{t\ {Х+*},{Х-*}) = Pn(t, {Я"}, {Г}).
2) Р„—симметричная функция всех Xj и Xj по отдельности.
3) Функция P„-i—это специальный случай функции Рп\ при = и Р„ = Р„_1. Если наборы совпадают целиком, {Х/} = {Х7},
то Р„ = 0.
§ 4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
193
4) Если {Я+} ф {Я"}, то Re/>„(?, {Я+}, {Я~})=^0 ни в одной точке в области определения.
5) При с->0 функция Р„ обращается в нуль почти всюду за исключением областей \t — Я./|~с (/'= 1,/V).
6) При с-* ао функция Рп убывает:
KV-V)
U = 1
+0']
(3.7)
§ 4. Анализ нелинейного интегрального уравнения
В этом параграфе мы рассмотрим нелинейное интегральное уравнение
1 +2я/>(?) = 5(г)ехр j J K(t,s) ( — q^t^q). (4.1)
Будем интересоваться лишь тем его решением, которое удовлетворяет неравенству
ReP(?)^0 (-q^t^q). (4.2)
В (4.1) функция S(r) определена на отрезке —q^t^q и удовлетворяет неравенству
1-5(01 <1. (4.3)
В остальном она произвольна. Функция 5(г) является функциональным параметром для уравнения (4.1). Отметим, что уравнения (2.27) и (3.2) именно такого типа.
Теорема 1. Решение уравнения (4.1), удовлетворяющее неравенству (4.2), существует, если функция S(l) удовлетворяет неравенству
(4.3).
Доказательство. Построим функциональную последовательность
л>(0.л(0.-.л(0.-:
Л, (0 = 0. Л(0 = “(3(')-1). (4.4)
Рп +1 (0 = ~ [s(0 ехр {КР— 1].
Докажем методом сжатых отображений, что эта последовательность сходится, а предел является решением уравнения (4.1). Сначала докажем, что если ReP„^0, то и Rei>B + 1<0. Так как ядро оператора К положительно, то
|ехр{КЛ}К1. (4.5)
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed