Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
206
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ III
Любопытно заметить, что спектр физического гамильтониана Н никак не входит в выражение для одновременных корреляционных функций. В том числе никак не входит функция е„ (>.) — голая энергия возбужденного состояния, которая также может быть сделана произвольной за счет изменения тождеств следов (она определяет лишь фермиевское значение спектрального параметра). При вычислении корреляционных функций методом, приведенным в настоящей главе, вообще ничего не нужно знать о структуре связанных состояний около физического вакуума (если море Дирака состоит не только из элементарных частиц).
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ III
Мы проиллюстрировали метод вычисления корреляционных функций в рамках КМОЗ. К сожалению, из-за ограниченности объема мы не упомянули о подходе к изучению корреляторов, основанном на квантовом уравнении Гельфанда—Левитана—Марченко [III. 1—III.3]. В рамках этого метода, слившегося с чисто аксиоматическим подходом, удается вычислить формфакторы в релятивистских моделях квантовой теории поля [III.4—III.9]. Отметим, что задача вычисления величины, аналогичной ст'. возникла при исследовании формфакторов в нелинейной О (3) ст-модели и была решена в [Ш.4].
Часть IV
АСИМПТОТИКА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе нам удалось построить представление корреляционной функции в виде бесконечного ряда, члены которого малы в окрестности свободных фермионов. Именно этот факт позволит нам исследовать асимптотику корреляционных функций на больших расстояниях и получить явные ответы. В гл. I была построена термодинамика одномерного бозе-газа. В гл. XIII мы вычислили корреляционные функции в состоянии термодинамического равновесия.
Для того чтобы исследовать поведение коррелятора при ненулевой температуре, мы обобщим развитую в гл. XII технику на этот случай. Нулевая температура является точкой фазового перехода в одномерных моделях, выше ее коррелятор убывает экспоненциально. В гл. XIII получим как точную формулу для корреляционного радиуса бозе-газа, так и ее асимптотику в области малых температур.
Степенной характер убывания корреляторов при нулевой температуре определяется критическими индексами. Следует отметить широкий интерес к проблеме их вычисления в магнетике Гейзенберга и бозе-газе. Однако лишь квантовый метод обратной задачи дает возможность с единой точки зрения взглянуть на эту проблему.
В гл. XIV мы покажем, что критический индекс интегрируемой модели определяется ее P-матрицей — в этом его универсальность.
Глава XIII
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
Разработанную в главах XI, XII технику вычисления корреляционных функций легко обобщить на случай произвольных температур. Для этого удобно использовать подход, сформулированный в § 1.5. Мы сосредоточимся на модели бозе-газа, хотя полученные результаты переносятся и на другие точно решаемые модели. Температурный коррелятор токов по-прежнему представим в виде ряда. Мы увидим, что в отличие от случая нулевой температуры на больших расстояниях он убывает экспоненциально:
<</МДо)»т~*~*/г--
208
ГЛ. XIII ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
Нами будет предложена формула зависимости корреляционного радиуса от температуры и константы связи. В § 1 настоящей главы мы демонстрируем «калибровочную инвариантность» коррелятора токов. Это используется для того, чтобы в § 2 получить представление для температурного коррелятора токов. Замечательно, что это представление отличается от случая нулевых температур лишь заменой меры интегрирования (см. (1.8.5)). В § 3 доказана теорема существования и единственности для одевающего уравнения корреляторов при конечной температуре, доказательство аналогично случаю нулевых температур. В § 4 обсуждается предел сильной связи в одномерном бозе-газе (с->оо). При этом выражение для корреляторов упрощается. В § 5 получена формула для зависимости корреляционного радиуса от температуры.
§ 1. Усреднение по состоянию термодинамического равновесия
Напомним, что состояние термодинамического равновесия (см. § 1.5) является смесью различных собственных функций гамильтониана. Выберем одну из них | Пт) и вычислим среднее от произведения токов j(x)j{0):
:./( v)/(0): = :v|/+(x)v|/(*)v|/+(0)v|/(0): = xj/+ (х)Г (0)v|/(x)v|/(0). (1.2)
Мы покажем, что среднее (1.1) зависит лишь от макроскопических характеристик системы, а не от выбора конкретной собственной функции гамильтониана |йт). Это свойство будет использовано в следующем параграфе при вычислении температурного коррелятора токов, который и равен (1.1). Следуя программе, изложенной в гл. XII, мы получим разложение среднего (1.1), подобное (XII. 5.19), отличающееся лишь заменой меры интегрирования
— в полном соответствии с мнемотическим правилом, сформулированным в части I (1.8.5). Здесь 9(A)—фермиевский вес:
<Пт|;/(*)У(0):|Пт)
<Пт|П,>
Здесь : : — означает нормальное упорядочение:
(1.1)
+ ас
(1.3)
(1.4)
Интересующее нас среднее равно
<flr|:y(*)-/(0):lflr>
(1.5)
§ 1 УСРЕДНЕНИЕ
209
В этом разложении
(1.6)
а общий член ряда Гк, который можно интерпретировать как вклад ^-частичного процесса в среднее (1.1), равен
