Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
о том, что корреляционный радиус равен:
гс=-----(5-9)
Р1 (а*, а)
Разберем теперь некоторые специальные случаи. В области низких температур Г -» 0 решением уравнения
Э_1(а) = 0, s(a)=inT (5.10)
является точка
inT
a = ?r + -7T“v’ (5Л1>
8 (йт)
где qT определяется из уравнения e(qr) = (), qT>0 (при Т —> 0, qT —> q, а ? есть решение уравнения (1.3.16)). Таким образом, в пределе низких температур разница между а и а* становится малой. Множитель S(t) в (3.1) стремится к 1, а следовательно, решение
(3.1) Рх (t, a*, a)-»0 (см. следствие 1 теоремы 1 § 3). Более точно,
PA)=-^f(t>qY (512)
Здесь F есть решение линейного интегрального уравнения (И. 1.4) (приложение к части I).
Подставляя выражение (5.12) в (5.8), получим
1 _ 2пТ +2жТ rc 8 (q) E'{q)
Заметим, что величина, стоящая в квадратных скобках, есть производная от одетого импульса (И.3.5) (приложение к части I). Следовательно, корреляционный радиус можно выразить через ферми-евскую скорость vF (1.7.17), которая для бозе-газа совпадает со скоростью звука (1.7.16). Окончательно:
г^Т~т при Г-0. (5.14)
гш
Рассмотрим теперь предел сильной связи и вычислим корреляционный радиус с точностью до 1 /с2.
ГЛ. XIV. АСИМПТОТИКА ПРИ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
217
Из (5.4) и (4.3) имеем:
Подставляя зто выражение в (5.8) и в (3.7), получим
2
(5.15)
Здесь следует отметить, что при с-* оо происходит следующее явление. Функция Р1 стремится к нулю (см. (3.6)). Это приводит к тому, что оба слагаемых (5.5) и (5.6) начинают одинаково убывать по х на бесконечности. Однако при конечных с слагаемое (5.6), содержащее осцилляции, убывает быстрее. Коррелятор полей также убывает экспоненциально при конечной температуре:
При малых температурах Rc сводится к [13.6]:
Rc = AD / Т.
Заключение
Изложенный метод вычисления температурных корреляционных функций был сформулирован в работах [13.1; 13.2; 13.7]. Случай XXZ модели рассматривался в работе [13.4]. Формула (5.14) для корреляционного радиуса в области малых температур получена ранее по теории возмущений [13.6]. Свойства ряда (1.5) исследованы в работе [13.3], а в работе [13.7] был проанализирован предел высоких температур Т-* оо и показано, что корреляторы распадаются гауссовским образом.
Глава XIV
АСИМПТОТИКА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ НУЛЕВОЙ
ТЕМПЕРАТУРЕ
Вопрос об асимптотике на больших расстояниях корреляционных функций интегрируемых систем при нулевой темепературе имеет принципиальное значение с точки зрения физики. Для систем с одним пространственным измерением точка Т= 0 является точкой фазового перехода. Для таких моделей, как нерелятивистский бозе-газ и одномерная цепочка спинов Гейзенберга, спектр которых является бесщелевым, экспоненциальное убывание корреляционных функций с расстоянием при Т> О сменяется в точке фазового перехода на степенное убывание. Соответствующий показатель степени 0 называется критическим индексом. Его вычисление — одна из главных задач в теории фазовых переходов.
<i)/(x)i)/+ (0)> ~ е x/i4 х —> оо.
(5.16)
218
ГЛ. XIV. АСИМПТОТИКА ПРИ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
Основной результат состоит в том, что критический индекс выражается через значение функции дробного заряда z(X) (см. § II.5) на границе зоны Ферми:
0 = 2 z2(q). (0.1)
Напомним, что функция z(k) определяется одевающим линейным интегральным уравнением:
Z(X)~^K J к(1’ и)ФИи= 1- (0.2)
Здесь ЛТ(Х, ц) — обычное ядро для модели бозе-газа, связанное с /{-матрицей XXX типа (см., например, (XII.5.7)). В случае цепочки Гейзенберга критический индекс определяется теми же уравнениями (0.1), (0.2), в которых ядро ЛГ(Х, ц) следует заменить на тригонометрическое (XII.6.4), a q на Д.
Таким образом, критический индекс 0 зависит от параметров модели (константы связи и плотности для бозе-газа и параметра анизотропии и внешнего магнитного поля для цепочки Гейзенберга). В то же время формулы (0.1), (0.2) универсальны. Они определяют критический индекс 0 в любых интегрируемых моделях с /{-матрицей XXX или XXZ типа, которые могут быть решены с помощью однократного анзатца Бете. Например, значение критического индекса одинаково для бозе-газа и решеточной модели НШ (при условии равенства константы связи с и границы зоны Ферми q).
Критический индекс можно выразить и через термодинамические функции модели. Так, для XXZ цепочки Гейзенберга
Q = kvf%I 2, (0.3)
где vF — фермиевская скорость, a % = 8csj8h— магнитная восприимчивость. Для бозе-газа
0 = 4nDjv, . (0.4)
где D — плотность, a v — скорость звука.
Ниже кратко рассмотрена асимптотика корреляционных функций интегрируемых систем на больших расстояниях.
Заинтересованного читателя мы отсылаем к оригинальным работам [14.3; 14.4; 14.1; 14.7], где формулы (0.1)—(0.4) получены в рамках квантового метода обратной задачи, и к работам [14.2; 14.8] где они доказаны в подходе, основанном на конформной теории поля.
§ 1. Асимптотика корреляторов в одномерном бозе-газе
Рассмотрим сначала одновременной коррелятор токов в модели нерелятивистского бозе-газа:
«){*))( 0)» = «'|'+ (x)i|/(x)i|/ + (0)v|f(0)». (1.1)
§ 2. АСИМПТОТИКА В XXZ МАГНЕТИКЕ
