Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Простейшее свойство ЕК следующее:
Д*(<х,[х(*.) = 0])=1. (2.5)
Из (XI.4.15) следует также, что
Д*(0, [*(*)])= 1. (2.6)
Для того чтобы исследовать термодинамический предел N-+co, L-*co, D = N/L = const, удобно произвести следующее разбиение суммы в (2.1):
en(а, И) = (<*> И) + en}(«’ И)• (2-7)
Здесь
?'„»(«, М)= "‘х" (2.8)
{».} = {».'}и{»¦’} w 1Ф )
Величина Е,^)—это дополнение суммы (2.8) до полной суммы (2.1). Важную роль сыграет следующая лемма.
JI е мм а 1. Модуль функции EN меньше 1:
|Д*(«,[х(Ь)])|<1. (2.9)
§ 2. <е?(х)>° В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ
187
Доказательство. Как уже отмечалось выше, det((p')>0, det((p*)>0, det (ф^) > 0 (см. (IX. 1.4), следовательно,
|?jv(a>M)l<?iv(0’ W)=l (2.1°)
(мы использовали равенство (2.6) и то, что Rea = 0). Это завершает доказательство.
Аналогично доказывается, что
|tf»(a,[x(*)]|<l. (2.11)
Ниже будут важны следующие формулы:
1^2,(<*>М)№2)(0, [*])= 1-^(0, И). (2.12)
Напомним, что термодинамический предел detN (ф') вычислен в (IX.4.10):
detN(ф')= П (2л1р(^)) detjV-^ Kj. (2.13)
Здесь р (X) задается уравнением (1.5). Отметим, что в (2.8) пу-юэ так, что термодинамический предел det„ (ф^) вычисляется аналогично: JI е м м а 2. Термодинамический предел detB (фу), пу'^N~\п N, у (Х) = L — x (X) задается формулой
lim
с!еЧ(ф;)/( П 2nLp(k]
J=i
=( п®(^))ехР1-
1
2п
i(X) dX
(2.14)
здесь
со (X) = exp < —
2тс
К(Х, ц) d\i
(2.15)
Доказательство. Матрица ф>, имеет вид, аналогичный (IX. 1.5): .
(ф;Ь=5,
у(М)+ J K(Xh >?)]-*(^, Щ
т= 1 _]
Представим фу в виде произведения двух сомножителей: Ф; = G},03’; det (фу) = det G3" detG3’.
Здесь матрица 0*—диагональная матрица:
(е')л=8^, 8r=y(M)+ Е К(XI Х?т),
т— 1
(G”),, = 5,,-tf (Х?,
(2.16)
(2.17)
(2.18) (2.19)
188
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Термодинамический предел величины вычисляется по аналогии с (IX.4.6):
9Г = 2я?р(Ц) — x(Xj’)- ? К(XI X]).
j=i
Детерминант 0* равен:
det(0y)/( П [2я?р(н)] =
\ m — 1
= П [1-ИЧ)+ i К(Ч Щ1(2кЬр(Щ]
j-x (-1
(2.20)
ехр1 —
[х(ц)+Х^(^Г,и)]#Ь (2.21)
Здесь мы заменили сумму на интеграл как в (1.3.6). Предел Gy такой же, как и предел G:
Gy->( 1-— К).
V 2* )
Таким образом,
de4W =
= П 12kLp(М)] П ®(Х?)ехр
j=i 1=1
1
2п
х (X.) dX > det
,-Ul.
2п J
Это завершает доказательство леммы 2.
Полезно переписать формулу (2.21) в виде
detB> (фу)/detN (ф') =
= П [®(^m)/(2nLp(>.m))]ехр
2п
(2.22)
(2.23)
х(1)Л . (2.24)
Отметим, что аналогично вычисляется термодинамический предел det(9„) (XI.4.27):
detn> (ф«)/detN (ф') = П [ю(//т)/(2л?р(Х.;т))].
(2.25)
Докажем теперь центральную теорему.
Т е о р е м а 1. Термодинамический предел функции ?'<ч1) (ос, [х (X) ]) равен:
§ 2. <gl(x)>° В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ
189
Здесь функция P(t, а) определена при Recc = 0. Она удов-
летворяет нелинейному интегральному уравнению
1 + 2nP(t, а) = ехр {а} ехр| J K(t, .?) Р (s, a) (2.27)
и неравенству ReP(t, а)^0.
Доказательство. Преобразуем выражение для Е§\ учитывая формулу (2.24):
4
х
Г , Г
en)== Y exp]anx-— х(Х)</Х
(М={»•'} и {>•’} I гк J
xdet„ (ф*) П ИМ)/(2я?р(М)]. (2.28)
7=1
Обозначим вклад слагаемых с фиксированным пх через W (пх, а). В термодинамическом пределе это ях-кратный интеграл:
W(nx, a) =
q
ехр |J x (X) dX^jnJ
X
-0
x I (2.29)
q
W(0, a) = exp | — j*x(X)
Здесь мы стандартным образом заменили сумму на интеграл. Итак,
[InJV]
?<,1)(a,[x(X)])= ? WK “)¦ (2-3°)
пх = О
Докажем, что ряд
со
Я (о, [х (*.)]) = Y W{nx, a) (2.31)
л — О
является абсолютно сходящимся. Составим ряд из абсолютных
значений, имея в виду, что \W (и, a)| =W(n, 0), и используем свойство
(2.9), (2.11):
[InN] [InN]
Y \W(n,a)\= Y 0) = ?(1)(0,[x])scl. (2.32)
n = 0 n = 0
Таким образом, частичные суммы составляют возрастающую последовательность, ограниченную сверху, что и доказывает абсолютную
190
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
сходимость ряда (2.31). Используя свойство det(cpi) (XI.4.9) легко вычислить вариационную производную суммы ряда (2.31):
5Е(а, [х(Х)])/5х(ц) =
= — ^-Е(а, [х(X)])+(ехр {а}/(2л)) is (а, [х(А.)+К(X, ц)]). (2.33)
Это линейное уравнение в вариационных производных, все его решения можно получить с помощью преобразования Фурье:
Е(сс, [х(ц)]) = ехр | J х(г)Р(г, сс)л|. (2.34)
Из (2.31) следует, что функция P(t, сс) удовлетворяет требуемому интегральному уравнению (2.27), а из свойства (2.9) следует, что ReP(r, сс)^0. Итак, теорема доказана.
В § 4 доказана теорема существования и единственности для уравнения
1+2nP(t, сс) = ехр{сс} ехр| | K(t,.?) P(s, a)</s|,
(2.35)
ReP(t, сс)г^0 (-q^t^q).
Из этой теоремы следует, что при а = 0 существует единственное решение
P(t, 0) = 0. (2.36)
При этом Е(0, [х])=1.
Покажем также, что термодинамический предел Е%*(а., [х]) в (2.7) равен нулю. Заметим, что в термодинамическом пределе Е{^(0, [х]) = ?(0, [х])= 1; этого достаточно, чтобы с помощью (2.12) доказать, что
1ш|^2)(«,[х])| = 0. (2.37)
Следствием доказанной теоремы является следующее важнейшее утверждение. Термодинамический предел функции EN (а, [х]) существует и равен
