Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
219
Асимптотика этого коррелятора в рамках теории возмущений может быть извлечена из ряда для него, построенного в § XII. 6. Главные члены асимптотического разложения при х->оо имеют вид
«Д*)Д0)»= + (*-»ао). (1.2)
Здесь D= J р (X) dX—полная плотность газа, а 0 дается формулами -*
(0.1), (0.2). Легко установить, что 0->2 при с-> оо. В общем случае 0>2 (напомним, что с>0), поэтому первое слагаемое в правой части (1.2) в асимптотике всегда лидирует. Используя тождества, установленные в § 1.7 и § II.5, получаем для 0 формулу (0.4). Отметим, что для бозе-газа голый импульс р0(Х) = Х, и поэтому функция одетого заряда просто связана с плотностью частиц в основном состоянии:
z(X) — 2np(X).
В работах [14.5; 14.6] показано, что один критический индекс 0 описывает асимптотику всех корреляторов. В частности, для разновременного коррелятора полей получаем (в евклидовой области):
I
<v|/(x, f)v|/+ (0, 0)) = G(x, t)^>a(x2+ v2t) 2e. (1.3)
Здесь v — фермиевская скорость, t — евклидово время. Чтобы выписать асимптотику многоточечных корреляторов, введем следующие обозначения:
'l' = 'l'i, v|'+=v|'-i- (1.4)
Асимптотика многоточечного коррелятора равна произведению парных:
< 1j=±1’ lh=o. (1.5)
j=i j>‘
Эта формула справедлива, когда каждый из интервалов устремляется на бесконечность: (xj —Xi)2 + v2 (tj—ti)2^ со (///)•
§ 2. Асимптотика корреляторов в XXZ магнетике Г ейзенберга
Представление для коррелятора третьих компонент спина в магнетике Гейзенберга было получено в § XII.6 (см. (X.II.6.8)—(XII.6.14)).
Анализ коэффициентов разложения коррелятора третьих компонент спина в XXZ модель при п-> оо аналогичен подобному для коррелятора токов в НШ модели. Асимптотика коррелятора равна
.. , < «.. а / 4 \ , cos (tzgh) / v 4 ч
«оГ о‘»=—+(-1) ft—(л-юо). (2.1)
п ' п v
220
ГЛ. XIV. АСИМПТОТИКА ПРИ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ
Здесь ст—намагниченность (см. § II.3), ст= 1—2,0. Критический индекс 0 выражается через значение «дробного заряда» на границе зоны Ферми:
0 = 2z2(A). (2.2)
Из результатов § II.5 следует, что
Q = kvf%/2. (2.3)
Если в модели НШ 0>2 всегда, то в XXZ модели это не так. Область изменения константы связи г) естественно разбить на две зоны: зону О <2г| <я/2 (это область выпуклости действия Янга; см. гл. II) и зону я/2<2г| < л (ядро К (XII.6.4) больше или меньше нуля соответственно). В первой из этих зон 0 > 2, и лидирует первое слагаемое в (2.1), во второй зоне 0<2, и лидирует второе слагаемое асимптотики. В точке свободных фермионов (2ц = я/2) оба слагаемых одного порядка и равноправны, так как 0 = 2. Явный вид коэффициентов а и b в формуле (2.1) обсуждается в работах [14.4; 14.7]. В работе [14.3] была высказана гипотеза о том, что асимптотика корреляторов матриц ст+ и ст- в евклидовой области (t—евклидово время) задается тем же критическим индексом 0 (2.2):
I
<ст"-+1 (г)ст +(0)>->с (n2 + vjt2) 0<2т)^я/2. (2.4)
Здесь vF — фермиевская скорость (см. (1.7.17)). Эта гипотеза была доказана в работах [14.2; 14.8]. Многочастичный коррелятор в асимптотической области равен произведению парных аналогично (1.5). Обсудим теперь зависимость коррелятора (2.1) от магнитного поля. Фактически этот вопрос рассматривался при изучении функции «дробного заряда» z(k) в § II.5. Когда магнитное поле h больше критического значения Л > /гс = 4 sin2 т), основное состояние является ферромагнитным и <ст" + 1 ai> = a2 = 1. Поэтому правая часть (2.1) должна обращаться в нуль при h = hc. Изучим предел снизу h^>hc. В этом пределе (см. (II.5.14))
0 = 2 + 4 (rctgr) tg2r|) 1y/hc — h, h->hc, h^hc. (2.5)
При h = hc, 0 = 2, z* 1, D = 0, a = 1, a=—b. Таким образом, правая часть (2.1) действительно обращается в нуль.
В области малых магнитных полей критический индекс 0 как функция магнитного поля h существенно зависит от константы связи г):
Q = n/(2t])+d1h2, 0<2т)<2я/3, (2.6)
0 = я/(2г))+^2 Н(2п1''~л\ 2я/3<2т) <я. (2.7)
Явный вид коэффициентов d приведен в (II.5.15), (II.5.16). Таким образом, при 2г| = 2я/3 происходит изменение зависимости 9 от h. Заметим, что при 2г\->п критический индекс становится все более чувствительным к магнитному полю.
В нулевом магнитном поле из (2.6), (2.7) имеем
0=я/(2л) (2.8)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
221
и асимптотика несколько упрощается:
(2.9)
Кратко рассмотрим изотропный XXX магнетик Гейзенберга в ан,-тиферромагнитном случае. Он получается из XXZ магнетика предельным переходом (см. § II.4). Из предыдущих результатов слрду^т, что в этой области 0<2, и ведущий член асимптотики коррелятора третьих компонент спина—осциллирующий:
Таким образом, 0-»1 при А-» 0. При магнитных полях, олшкид к критическому, 0—2:
В заключение подчеркнем еще раз, что формулы (0.1), (0.2) для критического индекса справедливы не только в моделях нерелятивистского бозе-газа и магнетика Гейзенберга, рассмотренных выше. Они справедливы в любых бесщелевых интегрируемых моделях, обладающих /^-матрицами типа XXX или XXZ и решаемых с помощью анзатца Бете. В частности, эти формулы описывают критический индекс в обобщенном XXZ машетнке и обобщенной модели H1II, описанных в конце § XII. 6. При этом критический индекс 0 не зависит от голого импульса р0 (X), произвольного в обобщенной модели, что и позволяет его вычислить. Зависимость же от голой энергии ?о(Х) входит в формулу 0 = 2z2(q) только через фермиевское значение q спектрального параметра.
