Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 62

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 84 >> Следующая

Четырехчастичная неприводимая часть (2.20) была вычислена в работе [11.2].
В некоторых релятивистских моделях формфактора над физическим вакуумом удается вычислить в явном виде с помощью квантовых уравнений Гельфанда—Левитана [11.8; 11.9].
184
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Глава XII
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Основная цель этой главы состоит в вычислении коррелятора токов (j (х) j (0)) в модели НШ, просто связанного со средним значением (Qi) оператора Qi по основному состоянию |Q> гамильтониана (см. введение к части III): <.у'(х)у (0):> = (1/2) (52/ох2) (Qi(x)). Отправной точкой служит представление (XI.4.25) для среднего значения в обобщенной двухузельной модели. Для получения среднего значения собственно в модели НШ надо, во-первых, отождествить матрицу монодромии (X.I.6) обобщенной двухузельной модели с матрицей монодромии модели НШ по правилу, описанному в § X. 1. Во-вторых, следует перейти к термодинамическому пределу, устремив длину ящика L и число частиц N к бесконечности так, что плотность D = N/L остается фиксированной и конечной (подробнее § 1.3). При этом бетевский собственный вектор |\|/W)->|Q). Ниже мы следуем этой программе.
В § 1 мы напоминаем читателю связь модели НШ и двухузельной обобщенной модели. В § 2 и в § 3 осуществляется переход к термодинамическому пределу в представлении (XI.4.25) и получено выражение для величины (Qi) в обобщенной модели НШ. Получены одевающие уравнения, которые в § 4 подробно исследуются; для них доказана теорема существования и единственности. В § 5 приведен окончательный ответ для коррелятора токов в модели НШ. Наконец, в § 6 обсуждается обобщение для моделей, обладающих Л-матрицей XXZ модели. Выписан явный ответ для коррелятора третьих компонент спинов в XXZ магнетике Гейзенберга, обсуждавшегося в гл. II.
§ 1. Модель НШ и двухузельная модель
Рассмотрим модель НШ. Вакуумные собственные значения ее матрицы перехода на отрезке [0, х] (0<x<L) суть а(X) = = exp{—iXx/2}, d(X) — ехр {/Ах/2}, так что функции г(X), 1(Х) и т(X) даются формулами
/ (Х,) = ехр { — iXx}, w(^.) = exp {iX(x— L)},
r(X) = l (k) m (X,) = exp { — iXL}.
Уравнения Бете имеют вид:
r(h) П (f(4 \)lf(K h)= 1 (/= 1- *)¦ (1-2)
* = 1 кф}
Переменные x(^.), y(X) и z(X) (VIII.3.22) в этой модели равны:
х(А,) = гд lal(X)/8X = x>0,
(1.3)
z(X)~id in г(а)/(9Х = х{^)+у(^) = L>0.
§ 2. <е?(*)>° В ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ ПРЕДЕЛЕ
185
Переход к термодинамическому пределу подробно описан в § 1.3. В этом пределе длина ящика L стремится к бесконечности вместе с числом частиц N в основном состоянии; полная плотность частиц D,
()< D = N jL = const, (1.4)
остается фиксированной и конечной. Плотность распределения частиц по быстротам р (X) в основном состоянии (р (/.„) = lim L ~1 (/.„+ j —/-„)*) удовлетворяет уравнению
р(Ч~
К (к, ц)р(ц)й?ц = ^, (1.5)
г
где ядро К (л, (а) = 2с [с2 + (к — ц)2 ]-1 определяется только Л-матрицей.
Обратимся к представлению для величины <Qj)N (XI.4.25). Наша цель — вычислить его термодинамический предел. В этом пределе бетевский вектор |\|/№) -+|Q>. Оператор 2i = 6i (х) в модели НШ — это оператор числа частиц на отрезке [0, х]. Введем следующие обозначения. Нормированное среднее значение оператора Q\ по основному состоянию обозначим <01):
(..6)
<n|n> <'|/jvl'kv>
Соотношение (XI.4.25) в термодинамическом пределе перепишем соответственно так:
<б?>=<б?И>°+«е?(*)», о-7)
где
<б?И>0 = Ит[||б?11Й/1ИЫ. (1-8)
00
«б?(*)»= I Г*(4 Г* = 11тГ*,„. (1.9)
к = 2
Существование пределов будет доказано в §§ 3—4, где вычисляются соответствующие величины. Коррелятор токов в модели НШ задается при этом формулой
«:Л*)Л0):»4 ? «е?(*)»4 4?2 ? г*(4 (1Л°)
§2. Величина (Qj (х))° в термодинамическом пределе
Термодинамический предел величины (Qi(x))° существует для модели НШ. Введем производящую функцию
186
ГЛ. XII. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Интересующие нас величины так выражаются через EN:
д*(о)=1, ^/dotUoHieiiu/unu. а2?^/аа2|в=0=ие?1и/ипи. (2.2)
Будем рассматривать случай чисто мнимого a (Rea = 0).
Для того чтобы вычислить термодинамический предел производящей функции En(а) в явном виде, необходимо выйти за рамки модели НШ. Двухузельная обобщенная модель описывалась двумя произвольными функциями / (к) и т (X). Оставим произвольной лишь функцию / (X). Наложим на две функции лишь одно ограничение, потребовав, чтобы функция г (к) была той же, что в модели НШ:
г(Я) = /(Я) m(X) = exp{ — ikL}. (2.3)
Это, в свою очередь, означает, что функция x(k) = id Ш(к)/8к является произвольной. Потребуем лишь, чтобы х(к) была положительной функцией ограниченной вариации (0<х(Я)<хтах). Функция у(Х.) = = id Inт(к)/8к так выражается через х(X)'-
у (k) = L-x(k)-> + 00 (L-co). (2.4)
Это не изменяет термодинамического предела, описанного в предыдущем параграфе (уравнение (1.5) выполняется). В термодинамическом пределе х(к) остается фиксированной конечной функцией, а у (к) ->оо. Теперь производящая функция EN (2.1) превратилась в функционал от х(к): EN(a, [х(X.)]). Ниже мы увидим, что термодинамический предел этой функции удовлетворяет уравнению в вариационных производных (по х (X)), что и позволяет его вычислить. Следует отметить, что det((p*)>0 и det((p',,)>0, благодаря х (X.) > О и у(Х.)>0. Это важно для термодинамического предела.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed