Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 70

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 84 >> Следующая

Гк= — к\
(1.7)
j = l
Статистический вес (о(Я)— это функция ограниченной вариации:
Ч об
ю(Я)=ехр|—- К(Х, ц)&(ц)г/ц|, 0<го(Я)<1. (1.8)
I 2п J J
— ОС
Очевидно, что а>(Я) =ю( — X).
Одетая неприводимая часть 1{ строится по тем же коэффициентам Фурье srfl, что и при Т= 0 (XII.5.10):
п= I е*рл^},{^ })^»({Х+}, {X-}, {х0}).
m=^+iu{^}№°}
(1 Q)
Одетая функция рп равна:
Л({х+}, {Х-}Н1(Х7-Х;)+ I Ht)PK{t, {ЯМ, {x-})dt. (1.Ю)
)~ 1 - сю
Функция Рп удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению
С
*(/,*) Л (*)Э(*)«/Л. (1.11)
1+2nPn(t) = \ H^K^Mii^exp
МЛ'. К)ЛК> о
Предэкспоненциальный множитель в (1.11) тот же, что и при 7 = 0 (XII.5.12). В § 3 мы подробно исследуем уравнение (1.10) и функцию Рп. В пределе сильной связи с-->оо по-прежнему
Г*~(1/сГ2.
Явно выпишем два первых члена ряда (1.5):
1^г2(х) = -^ |
2дх
А-j —^2 "Ъ ic Xl—X2 — ic
Pi ^2)
X 1 — X 2
exp{^i(^b \2)}, (j 12)
210
ГЛ. XIII. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
2 3
+ 00
(*)=2^ -f {П®(^)Э(^)^-
Х
Xt—X2
2
X
Xi — X2 + ic\l Х3 — Х2 Х3 — ехр{лт?! (Xj, Х2)}
2 дх
Х-i — Х2 — ic J \Хз — Xi Х3 — Х2 J{Х3 — Х1 + /с)(Х-2 — Х-з + /с)
Здесь интеграл доопределен в смысле главного значения.
Приведенные формулы подтверждают наше утверждение, что среднее (1.1) «калибровочно инвариантно», т. е. не зависит от конкретного выбора |Qr) (набора целых чисел), а зависит лишь от макроскопических функций рр(Х) и е(Х). Здесь следует заметить, что мы можем рассматривать среднее (1.1) не только по состоянию термодинамического равновесия, но и по произвольной собственной функции гамильтониана |Ч'л'Х которая описывается некоторыми функциями распределения Рп(Х) и р/, (М- В этом случае для среднего <VPjv| :j(x)j(0): |'Pjv>/<'PjvI'Pjv> снова получилось бы разложение (1.5). Однако в этом случае фермиевский вес Э(Х) был бы определен так:
8<Ч1+ШР
§ 2. Температурный коррелятор токов
При конечной температуре коррелятор токов определяется следующим равенством:
- tr[y(^)y(0)exp{-Jf//7'}]
-----1г[ехр{_я/г}] (2л)
(коррелятор (2.1) называют также корреляционной функцией плотностей). След, стоящий в знаменателе формулы, (2.1) был уже вычислен в § 1.5. Этим же способом вычислим след в числителе. Согласно определению, в ./V-частичном секторе
tr{j(x)me-^}= I (2.2)
rtl<n2<...<nN \ ЛП * jV/
Здесь | XPJV>—собственная функция гамильтониана (1.1.9). Перейдем теперь от микроскопического описания модели (с помощью набора целых чисел п}) к макроскопическому описанию через функции распределения рр, р„ и перепишем след (2.2) как функциональный интеграл (1.5.16)
tr {j(x)j(tye~HIT} ~
" iH
= const
<ЧМ^)У(0)|ЧЧ) x
. E L
xexp {S~- + -h
<4'W|4'iv>
(2.3)
§ 3. АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Все обозначения см. в § 1.5. Мы видели в предыдущем параграфе, что среднее
<ЧМД.Ф(°)|ЧУ
<'4' jvl'Fjv)
не зависит от конкретного представителя I'Pjv) набора собственных функций гамильтониана, определяемого макроскопическими функциями распределения рр, р,.. Это оправдывает выделение множителя exp{Sj в (2.3) и позволяет вычислить функциональный интеграл методом наискорейшего спуска в пределе бесконечного объема, как и саму статистическую сумму в § 1.5. В результате получим
О-МЛ. )>Г=<5ЖЬ>, р,4)
а следовательно, среднее (1.1), вычисленное в предыдущем параграфе, и есть коррелятор токов. Определив неприводимый коррелятор <С./(х)/(0)> т равенством
«j(x)j(0)>T = <:j(x)j(0):)T-<j(0)>}; (2.5)
где
<-j(x)j(0):>r = <j(x)j(0)>T-d(x)(J(0))r, (2.6)
а О(0) Ут = 0 (1.6), получим, согласно § 1.5, следующее разложение для неприводимого коррелятора токов:
1 д2 00
«Д*М0)»г=2^12Г‘(*)> (2.7)
причем теперь е(А), входящее в (1.4), является решением уравнения Янга (1.6.1).
§ 3. Анализ интегрального уравнения
В этом параграфе мы рассмотрим интегральное уравнение
1+2яР(г) = 5(/)ехр| j- K(t, j)9(s)i°(s)<fs|. (3.1)
Здесь З(л-)—фермиевский вес (1.4), S(t)—функциональный параметр. Ограничимся случаем
|5(f)|^l при Im/ = 0 (3.2)
и будем интересоваться лишь теми решениями уравнения (3.1), которые удовлетворяют неравенству
RejP(/)^0 при 1т/ = 0. (3.3)
Сразу же заметим, что теоремы § XII.4 легко обобщаются на рассматриваемое интегральное уравнение, поэтому мы приведем их
212
ГЛ XIII ТЕМПЕРАТУРНЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ
без доказательств. Необходимые оценки для линейного интегрального оператора с ядром K(t, .v)()(.v) получены в § 1.5.
Теорема 1. Решение уравнения (3.1), удовлетворяющее неравенству (3.3), существует и единственно.
Следствие 1. Если S(/) = l при 1т/ = 0, то Р(/)=0.
Теорема 2. Если S (t) отличается от 1 на вещественной оси, то 5Й.еР(/)<0.
Следствие 2. \P(t)\^\/n при Im/ = 0.
При исследовании асимптотики корреляторов на большом расстоянии потребуется дополнительная информация о функции P(t) = P1(t,Xь Х,2) — решении уравнения (1.11), (3.1). Функция S(t) в этом случае равна
и удовлетворяет условию (3.2) при вещественных t, Хх, Х2 и с. Следовательно, все вышесказанное относится и к решению P1(t,Xx.X2). а значит, функция Р у можег быть аналитически продолжена в область
1пн = 0, lm^2>0, (3.5)
так как в этой области |S(/)|<1; см. (1.2.4).
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed