Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Содержание главы следующее. В § 1 формулируется обобщенная гипотеза Годена о том, что квадрат нормы собственной функции равен некоторому якобиану. В § 2 исследуются свойства этого якобиана, выявлены свойства норм, которыми они должны обладать, чтобы выполнялась гипотеза. В § 3 доказана гипотеза Годена. В § 4 рассматриваются приложения общей формулы к конкретным моделям, вычислен термодинамический предел якобиана.
§ 1. Обобщенная гипотеза Годена
Чтобы доказать гипотезу Годена, сформулируем ее для интегрируемой модели с произвольными функциями а (к) и d(k) (см. § VI.6). Бетевские собственные векторы трансферматрицы в такой модели имеют вид (см. § VI.1):
\ЬШ>=\ЫК М>“ П В(Х,)|0>, (1.1)
]=1
<'ЫМ)1 = <0|П C(AJ. (1.2)
J=1
Мы используем нормировку (VIII.3.16) операторов рождения и уничтожения: В (k) = B(k)fd(k), С (k) = C(k)/d(k). Набор {А} в (1.1), (1.2) должен удовлетворять системе уравнений Бете
г(\)П {/(\,К)//(\Л})=1 (7=1 (1.3)
*= 1
k*J
произвольная функция г (к) задается отношением вакуумных собственных значений: г(к) = а (к) / d (к).
§ 2 СВОЙСТВА ЯКОБИАНА
151
Обобщенную гипотезу Годена запишем в следующей форме:
о-4)
)*к
где ф' — матрица NxN:
N
<p'Jk=d%/d\k=b]k(zk+1 к(хк, \))-к(х}, (i.5)
i=i
Здесь zk = idlnr(X)/dX\x=x (VIII. 3.22); функция К (А, ц) определена в (VIII.3.25). Используя представление (1.2.16) легко доказать, что матрица ф' является положительной, если все Zj положительны и о О'
ф'>0, detJV(ф')>0 при Zj>0. (1.6)
В частном случае модели НШ имеет место инволюция В (к) = С+ (А*), вакуумные значения даются формулой a(X) = d* (X*) = exp{ — iXL/2}, а все X вещественны. При этом левая часть формулы (1.4) действительно есть норма волновой функции.
N
Отметим, что в модели НШ из системы Бете (1.3) следует J} d2{\)= 1
J= 1
(для Xj = X]). Поэтому обобщенная формула (1.4) действительно сводится к гипотезе Годена, сформулированной в начале главы. В общем случае также будем часто называть левую часть выражения
(1.4) «квадратом нормы волновой функции».
Вернемся теперь к обобщенной модели. Напомним, что благодаря произвольности функции г (к) мы можем рассматривать X как свободные переменные, несмотря на то, что выполнена система Бете
(1.5) (см. обсуждение в § VI.7). Величины z} являются независимыми переменными (это также следствие произвольности функции г(Х)). Таким образом, якобиан в правой части является функцией 2N независимых переменных X и zr Отметим, что индекс N у якобиана означает размерность матрицы. Для N = 0 мы полагаем
det0 (Ф')= 1. (1.7)
§ 2. Свойства якобиана
Введем следующее обозначение:
IIК... II * = IIW* IU=с - *(П ЛК К))~1 < ЫМ) IМШ- (2-1)
}фк
Здесь бетевские векторы | х}/^> и (\\iN\ даются формулами (1.1), (1-2). Гипотеза (1.4) в новых обозначениях запишется так:
II ^-i - - - ^-лг II лг= detjy (ф )- (2-2)
Рассмотрим теперь следующие пять характерных свойств определителя detjy^'):
152
ГЛ IX НОРМЫ БЕТЕВСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
(1) Якобиан не изменяется при перестановке пар
(ггХ^(гк,Хк) (j, к=1, ..., N). (2.3)
(2) Якобиан является линейной функцией каждого из 7.у
(3) Соответствующий коэффициент при zN равен:
-J— detjy (ф') = detjy _ t (ф „ой); (2.4)
здесь (<р'т0й)]к = ёф]/дХк:
+ (j,k=l,...,N-l), (2.5)
1=1
причем
ф; = г1пг(^) + г ? In(А\Лк)/f(K,Xj)), к = 1
r(X) = r(X)(f(X, XV)//(XV, A)), zk = zk + KkN. (2.6)
(4) Если все = 0 0=1, ..., N), to якобиан равен нулю при N>0:
det,v^ )|Zj = 0,;=l, ,N=^0,N- (2.7)
Действительно, матрица
Sjt(I^t,)-Kjt (2.8)
1 = 1
имеет собственный вектор с нулевым собственным значением. Это вектор, у которого все компоненты равны 1.
(5) Для N= 1 якобиан легко вычислить:
detj (<p') = z1. (2.9)
На этом заканчивается список свойств. Доказательство того, что || А,... XN )| v обладает такими же свойствами, эквивалентно доказательству гипотезы.
Теорема 1. Чтобы доказать равенство (2.2), достаточно доказать, что || ... XN ||N обладает следующими пятью свойствами'.
(1) инвариантность относительно перестановки пар
^)<->(Хк,гк); (2.10)
(2) линейность по каждому из zk;
(3) соответствующий коэффициент при zN равен
(д/дг„)П1...К'&н=\\К-К-Л%*1, (2.11)
здесь модификация означает замену z ->z (2.6);
(4) при фиксированном Х}
И Л-1... A.jv |1лг = 5олг пРи Zj = 0, j=l,...,N; (2.12)
(5) 11^-0 II0=1, \\К |1ж =гж. (2.13)
§ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОДЕНА
153
Доказательство будем проводить индукцией по N. База индукции выполнена (см. свойства (2.13), (1.7), (2.9)). Шаг индукции строится следующим образом. Предположим, что формула (2.2) верна для N=1, 2, ..., q—1. Докажем, что тогда она верна при N=q. Рассмотрим разность
Ae=l!V.AIU-det,(<p'). (2.14)
Это линейная функция zq. Соответствующая производная равна
dAq/dzq = || Xj... kq_, ИП -dete_ j (ф'тоа); (2.15)
правая часть равна нулю согласно индукционному предположению. Таким образом, Aq не зависит от zq; благодаря симметрии (свойство
(2)), Aq не зависит ни от одного из Zj 0=1, ..., q). Однако согласно свойству (4)
Дв = 0 при Zj = 0. (2.16)
Это означает, что Aq равно нулю тождественно при любых Zj, что и завершает построение шага индукции. Доказательство теоремы закончено.
