Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
При совпадении одною из \'J с одним из А,® старший коэффициент имеет простой полюс. Старший коэффициент KN является симметричной функцией всех )S и /Jkl по отдельности, поэтому достаточно рассмотреть случай Ау-> XN. С помощью рекуррентного свойства (VI.9.11) получаем для сингулярной части:
- ПЛЪ ХП)лГ,-,(|’7'- ;;',”-')+0(1).(2.9)
/'v“1 i >N~1 /
В § VI.10 бмло ”0л>чено представление для статсуммы ZN в виде определителя. С помощью этой формулы и формул (2.1), (2.2) можно получить для старшего коэффициента следующее представление:
*»({?} fji) = {п S(if. «)}¦*««•
Здесь матрица М имеет вид
Mjk =g(kf, kg)/h(Xf, A.?) (j, k= 1, ..., N),
где h(\, |i). Эта формула для А'л верна и в тригономет-
рическом случае.
Теорема 2. Произвольный коэффициент KN в формуле (1.3) выражается через старшие по следующей формуле:
*"(м мН П П /(lf'’-“'Н п П
je(AC) ke{DC) J \.le{AB) me(DB)
/{A/c} {A,DB} .
"o' {AAB} {ADC}у {А,дс} {A,DB} '¦ ( }
Здесь в фигурных скобках стоит двойное произведение, причем каждый индекс независимо пробегает свое подмножество.
§ 2. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ АГ„
145
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Отметим, что ниже будет удобно употреблять краткое обозначение:
fjk=f(XhXk), Kab = K(Xa,Xb). (2.11)
Замечание 1. Если зафиксировать все Xj из_ набора {AC}U{AB}, кроме одного (обозначим его X) и устремить X к бесконечности, то произвольный коэффициент KN убывает как 1/А,. Этр следует из формулы (VI.9.1).
Замечание 2. Если
</(A.?) = e(A.S) = 0, f(Xci, Af) = 0, (2.12)
то скалярное произведение равно нулю:
<01ПС(А?)Пад|0> = 0. (2.13)
У= 1 k=1
Это является непосредственным следствием формул (1.3), (2.10). По-другому можно сказать, что при этом
С(А?)С(А|) = 0. (2.14)
Аналогично, если
«(AtM(Af) = 0, /(XI Af) = 0, (2.15)
ТО
<0| П С(А,с)П B(Af)|0> = 0. (2.16)
J=1 1
Это эквивалентно соотношению
B(Af)B(Af) = 0. (2.17)
Замечание 3. Произвольный коэффициент KN является рациональной функцией всех А;е{Ас}и{Ав}, причем его можно представить в виде
^(мЙ)-Сп.м-ад'‘Ь(мм)- ,2'18)
где PN—полином. Рассмотрим случай, когда X%e{XA}, ABe{AD} и Xn->X%i->Xn. При этом произвольный коэффициент имеет полюс первого порядка, причем вычет сводится к коэффициенту в скалярном произведении (1.12):
*(м м) Д/(l?’ xf)) *
<2,9)
Эта формула получается непосредственно из (2.9) и (2.10).
146
ГЛ VIII ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
§ 3. Формула для вычета
Отметим, что в формулу для скалярных произведений (1.3) значение произвольных функций а(Х) и d(X) входит лишь в 2 TV точках {XC}U{XB}. Эти значения можно принять за 4 TV независимых комлексных переменных
а? = а (*•?); af = a(Xf), df = d(X‘f), df = d(Xf). (3.1)
Таким образом, скалярное произведение зависит от 6 N независимых комплексных переменных:
<01 П С(Х,с) П fi(Xf)|0> = Sw({efb {af}, {df}, {df}, {Xf}, (3.2)
i=i к=l
Рассмотрим специальный предельный случай скалярного произведения, когда одно из Хв стремится к одному из Xе. В силу симметрии достаточно рассмотреть случай
XCN-+XBN-+XN. (3.3)
Все остальные Xf и Xf различны, a ah d,— фиксированы (вообще говоря, а^Фав, d%фdв). Из формул (1.3), (2.19) следует, что скалярное произведение имеет полюс первого порядка. Например, для Si
<0\C(Xc)B(XB)\0}^^-B(acdB-aBdc). (3.4)
Напомним, что мы сейчас рассматриваем разрывные функции а(Х) и d(X), поэтому выражение в скобках не равно нулю при Хс-+Хв.
Теорема 1. При произвольном N скалярное произведение имеет в пределе (3.3) простой полюс, причем вычет задается следующей формулой:
<01Пс(х?)П*(ь?)Ю>—:
j=l fc=l N N
ic 1ВМив»-аис„)ф\ П* С(^)П S(X?)|0)-d. (3.5)
KN-*KN — AN) fc=1
Здесь скалярное произведение в правой части задается формулой (1.12) с модифицированными значениями вакуумных собственных функций а(Х) и d(X):
a(X) = a(X)f(X, XN); 3(X) = d(X)f(XN, X), (3.6)
т. е.
<0|Wnc(A.f) n1fi(A.f)|0>“d =
j=i t=i
= SW-1 (ef, af, 3f, 3f, Xf, Xf) (/= 1, ..., TV-1), (3.7)
§ 3 ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧЕТА
147
причем
«? = «?/(*•?. М’ а^ = а“/(Х“,Хк),
3c = dCf(\N, Х% 3? = d?f(XN, А?). { Л)
Доказательство. Из формулы (2.16) ясно, что только те слагаемые в правой части (1.3) сингулярны, которые соответствуют двум возможностям:
(а) А^е{А/<}, Аве{Ав}, (3-9)
(б) А?е{Ав}, A]?e{V}. (3.10)
Рассмотрим сумму слагаемых типа (а) из (1 3), она имеет вид
о.")
Здесь суммирование ведется по разбиению набора {Af}lJ{Af} (j~ = 1, 2, ..., N— 1) на два набора {Xf \[J{X°}. Все коэффициенты KN в формуле (3.11) имеют простые полюса. Явный вид вычета
(2.19) позволяет записать сингулярную часть суммы (3.11) в виде
-^г~г<0| Г1С(А.?)'n15(^)|0>mod. (3.12)
A,w< J = 1 к = 1
Здесь появилось скалярное произведение, присутствующее в правой части (3.5). Аналогично рассматривается сумма слагаемых типа (б)
(3.10). Сингулярная часть этой суммы равна
*ff с(а?)Г1 *(*•?) lo)"011. (3.13)
t-N — t-N J=1 к=1
Складывая (3.13) и (3.12), получаем правую часть (3.5), что и завершает доказательство теоремы. Следует отметить, что формула (3.5) будет играть центральную роль при вычислении корреляционных функций и норм бетевских волновых функций.
