Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью формул (VI.5.9) и (VI.5.13) для матричного элемента оператора exp{a.QL} получаем выражение
<01 П C(Xj)exp{ag,} П В(Х?)|0> =
j=1 к= 1
I I ехр{аи1} (Пw(^f)}{П^(^н)}х
§ 2 СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА EXPfaQ,)
159
х (П Пf(xf, ^-н)} (П П/(^ь xf)}i<0| П c(x.f) в (xf) t о >! х
I II I II II
х2<0|ПС(Х§)ПВ(>.3)|0>2. (1.14)
II II
Здесь спектральные параметры Xf, Xя все являются свободными переменными. Суммирование ведется по разбиениям набора {Xf}, 7=1, N, на два непересекающихся набора {Xf} и {Xf,} и по аналогичным разбиениям набора {Xе}. Эти разбиения являются независимыми, за исключением следующего ограничения на число элементов:
card{>-f}=card{>.f} = «1, card {Ли} =card {>.?} =п2 = N— п1. (1.15) Произведение |~[ означает произведение по всем Хе {/ч}, оно содержит
I
пх сомножителей. Аналогично, произведение ]^[ означает произведение
п
по всем Хе [Хи]. Таким образом, мы определили матричный элемент
(1.5) и обобщенной модели. Среднее от оператора Q\ получается дифференцированием по ос величины (1.14). Напомним еще раз, что функции 1(Х) и т (X) являются произвольными. Среднее значение
(1.14) зависит только от значений этих функций в точках Xf и Xf. Эти значения (так же как и в случае скалярных произведений § VIII. 1 можно рассматривать как 4N независимых переменных
= lf = lW)> mf = m(Xf), mf = l(Xf). (1.16)
Обсудим подробнее связь двухузельной модели с моделью НШ. В модели НШ Г(1|Л) — это матрица монодромии на отрезке [0, х ], Т(2\Х) — матрица монодромии на отрезке [х,Ь]. Таким образом,
/нш(^) = ехр{-гЪс}, mHU1 (X) = exp{iX(x-L)}, rHul(X) = exp{-iXL}.
При этом отождествлении оператор Qx в обобщенной модели превращается в оператор Q\ модели НШ (1.2).
Таким образом, проблему вычисления коррелятора тока мы свели к вычислению среднего значения оператора Q \ — задаче, которая естественно решается в рамках обобщенной двухузельной модели. В свою очередь, матричный элемент оператора explocgj} посредством формулы (1.14) выражается через скалярные произведения, изученные в гл. VIII.
§ 2. Свойства оператора expfaQj}
Итак, матричный элемент оператора expla^} является функцией 6N независимых комплексных переменных:
<0| П С^^ехр^бх} П B(A.f)|0> =
]=1 *=1
= ММ{^С}, {Xf}, {If}, {If}, {mf}, {mf}). (2.1)
160
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
Благодаря свойству рв(А), В(ц)] = [С(А), С(ц)] = 0 этот матричный элемент инвариантен относительно перестановки троек (А^, IS, )<->(А&, 1к, тк) и по отношевию к перестановке троек (Xf, lj, т?)<->(А?, Ijf, m*). Основное его свойство состоит в том, что при Xj=X% (j, fc= 1,..., N) он имеет полюс первого порядка, причем вычет сводится к М*-!- Благодаря симметрии достаточно рассмотреть случай -> А® -» A.jv.
Лемма 1. Матричный элемент Mjy при совпадении X д- — л. \ — Х^ имеет полюс первого порядка, Причем вычет сводится к
М*|,е =ic -1 т% {1% - 1*)ех р{а} х
1 К г, —* К JV
х{ {X?}, {/7}, {ГУ}, К}, (ш?}) +
^ JV-1 '
+ ic(X% — Х§) 11^(/Пу— mf[){ х
хМ’„-, ({А?}, {А?}, {/?}, {If}, {mf}, {mf}). (2.2)
Здесь j= 1,..., N— 1,
Я&ОчЛП А-да„, а;с). (2.3)
В правой части модифицированные I и т равны
^ = l<j(f^lfCNj), Tf=lf(ffN/fBNj), (2.4)
mf = mf(ffN/ff,}). (2.5)
Среди аргументов MJy-i отсутствуют параметры N-й частицы Ху,
In, mN-
Доказательство. Формула (2.2) получается при подстановке формул (VIII.3.5) в (1.14). Эта формула является главной при исследовании матричного элемента (2.1).
Дадим теперь важное
Определение. Формфактором Fn оператора ехр {rJ-Q\} называется матричный элемент Mjv в случае, если наборы {Ас} и {Хв} являются решениями (вообще говоря, различными) уравнений Бете, т. е. матричный элемент берется по отношению к бетевским векторам состояния (IX. 1.1), (IX. 1.2), (IX. 1.3):
Fn = < 'К ({^С})I ехр {aQх} | \|/А ({Хв})> =
= <0| П С (Xj )ехр {clQi} П B(Xf )|0>. (2.6)
j=1 k= 1
Здесь N
r(^)U(f%lfkj)=h j=l,...,N,
k^l
(2.7)
г(^7)П (/?.//&)-!. j=h..,N.
k= 1
§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРА ОПЕРАТОРА ЕХР {*?>,}
161
С помощью уравнений Бете (IX. 1.3) величины nij можно выразить через остальные переменные:
Щ = 1Г1 П ifkjlfjk), j= 1, • ••, N. (2.8)
*= i *#J
Таким образом, формфактор зависит от 4N переменных:
F% = F«N({XC}, {Хв}, {/с}, {/в}). (2.9)
Он является симметричной функцией относительно перестановки пар (Xf,c, /®’С)<->(ХВ’С, /в,с). При совпадении X * = X® формфактор имеет полюс первого порядка. Благодаря симметрии достаточно рассмотреть случай Xcv -> Xi} = XN. Следствием леммы I является следующая формула для вычета формфактора:
^|,г_,- = *с(Я.?—A.j5)_1[/S(/j5)_1 —l]exp {«} х
1 Ktf —* Kff
х{ пMl №}> j-1
+ гс(Х? —Хв) 1 [ П /j^’/nj~^n(^n) 1 П /Sj/fjvJ х
j-1 J=1
xFS-JlXf},{>.?}, {/?}, {If}). (2.10)
Здесь j= 1,..., N— 1. Величина Г определяется формулой (2.4). В следующем параграфе это свойство будет использовано для представления формфактора в виде, аналогичном формуле (VIII. 1.3) для скалярных произведений. Так как при переходе от матричного элемента !V1 % (2.1) к формфактору (2.6) были использованы уравнения Бете, то на первый взгляд кажется, что Ff, может иметь полюса первого порядка, когда /(Xj, X* ) = 0 или f(kf. Хв) = 0. Докажем, что соответствующие вычеты равны нулю. Действительно, если /(Xf, Хв) = 0, то из уравнений Бете следует, что а(Хв) = ^(Х?) = 0. (Матричный элемент сингулярен просто из-за того, что d(Xf) стоит в знаменателе. Действительно, В (X) = B(X)/d(X).) Однако из (VIII.2.17) следует, что при этом В(Х1)В(Х2) = 0 и соответствующий вычет зануляется. Аналогично доказывается отсутствие полюсов при f(X 1, Хг) = 0. Из теории скалярных произведений (VIII.2.14) следует, что формфактор как функция X может иметь особенность (простой полюс) лишь при совпадении пары Х;- из набора {Xе} 1J {Хв}.
