Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство (5) тривиально следует из формулы (1.14) при N= 0 и нормировки псевдовакуума <0|0> = 1. Итак, доказано, что функция ст* обладает всеми пятью свойствами, приведенными в лемме 3.
Докажем теперь, что эти свойства однозначно фиксируют функцию ст* и позволяют восстановить ее по функции ст*_!. Таким образом, рекуррентно строится функция ст* при любом N. Из свойств (1),
(3), (4) следует, что ст* можно представить в виде
ст*({Хс}, {^}) = -?(f Ь-{- }) ¦ (3.12)
П ГШ-tf)
; = 1 k= 1
Здесь ядг — полином степени (N—1) по каждому из Х} (Xje {A.C}U{^B})-Если записать формулу (3.10) через полином я, то получится, что я* при Х[ — Xf выражается через
Учитывая симметрию, достаточно рассмотреть случай Л* = Л*:
ля({^с}> = П (^-n — Xf + ic)(Xj ~XN + ic)~
" j-1
— exp{а} П (K-Xj-ic)(lj~XN-ic)}nfl-l({Xc}, {Лв}). (3.13)
j= i
§ 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРА ОПЕРАТОРА EXP{st!?i}
165
Это свойство однозначно фиксирует полином я^ (в терминах 1). Действительно, рассмотрим как полином степени (N— 1) по переменной Формула (3.13) задает этот полином в N точках = (/= 1,..., /V’), что однозначно фиксирует его. Начиная с ло= 1,
можно последовательно вычислить я®, п\,...
Отметим, что
ст?(Хс, Хв) = гс(Хс-Ав)“1(ехр{а}-1). (3.14)
Лемма 3 доказана.
Любопытно отметить, что для oaN можно получить представление в виде определителя, аналогичное (VI. 10.1) к представлению KN как определителя из § VIII.2.
Рекуррентные соотношения для были впервые решены в [10.1] в рамках исследования формфакторов для 0(3) нелинейной ст-модели. В [10.1] получено несколько представлений для функций я^ и их обобщений в виде определителя матриц 2Nx2N или (N-l)x(N-l). Мы приведем выражение для ctjv в виде определителя NxN из [10.2]:
<j°n({Xc}, {/.«})={ П g<ti, 4)gQ$, >-"')} { П ^ )} det М.
j>k j,k=l
Здесь h(X, ц)=/(А, \i)/g(k, ц), а
м _..*(*?*¦?) f п h(Xca,Xf)h(Xf,XBm)\ Af)
Ji h(kck, Xf) ид h(Xf, Xcm)h(XBm, Xf)j h(Xf, Xf)'
Это выражение для справедливо и в тригонометрическом случае. Произвольный коэффициент в (3.5) обозначим так:
{&}*-„. {Kr}n, №*-„)• (3.15)
Этот коэффициент выражается через старший ст “¦ по формуле, напоминающей аналогичное выражение для скалярных произведений (VIII.2.10).
Л е м м а 4. Произвольный коэффициент RN выражается через старшие по формуле
{ХрГ}„, {}jv_„) —
= {ПП f(Kr, >4ь)1 {п П/0-1 Кг)) х
pr ab pr ab
хст”({^г}, {^})ст^_„({^ь}, {&}). (3.16) Здесь произведение пп обозначает независимое произведение по всем
pr ab
Ае{АрГ} и по всем Хе \ХаЬ) и содержит n(N—n) множителей. Доказательство состоит из нескольких пунктов. Исследуем сначала свойства коэффициента RN (3.15), вытекающие из его определения.
166
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
(а) Свойства симметрии RN устанавливаются, как всегда, элемен-
тарно: Rn является симметричной функцией всех {Х?г}, {ХрГ}, {Х?ь}, {Х®ь} по отдельности. Таким образом, симметрия левой и правой частей (3.16) совпадают. ,
(б) Исследуем положение особенностей функции RN. Она может иметь лишь полюса первого порядка при совпадении пары X из набора {Xе} U {Xя}. Из симметрии (см. пункт (а)) следует, что некоторые вычеты зануляются, и функция RN может иметь полюса лишь при:
^¦prj — ^ab.k, ^prJ~Xab,k, (3-17)
X? = Xf. (3.18)
Итак, Rn можно представить в виде
О _ Рц({ХСрг}„, {Х?, }К-„, {Х®г}„, {XfjJiV-») 1(Vl
KN =------------------------------jy---------• (j-iy)
Г1 ^-Cpr, j ~ X?>, к ) Г1 ft"ab, i~kBpr,k) f] (X® — >4 ) j. * j,k j,k-1
Здесь PN— полином по всем Xj.
(в) Докажем, что
Д» = M П П (Кг - + ic)} { П П (*& - К + ic)} • (3.20)
pr ab pr ab
Воспользуемся леммой 1. В формулу (3.1) подставим для формфакторов в обеих частях представления (3.5) и приравняем коэффициенты при одинаковых структурах |~[/(Xе,)(Хяг). Получим соотношение
рг рг
^Аг({ХрГ}„, {Хаь}\-„, (ХрГ}„, {XabjhГ-в) =
= ехр{ЛГос}/?^“({ХаЬ}дг_п, {Xer}„, {X5,}w-B, {Xя }„)х
- ГТ ГТ (/(Хрг> ^ah)f(Xgb, Х”г)\ ,-т ~,ч
У У 1/(4 о/ ( )
Отсюда видно, что полином Р должен иметь вид (3.20). С помощью
(3.20) формулу (3.19) можно переписать в виде
Лдг({ХрГ}, {Хеь}, {Xя}, {Хяг,}) =
= {ППЛ^г, хеь)} (ПП/М» хя)}{ п п (*?-*? Г1} х
pr ab pr ab j - 1 к = 1
хЛ({Хег}, {Xе,}, {Xя }, {Хяь}). (3.22)
Здесь PN — полином по всем переменным.
(г) Воспользуемся для вычета формфактора (2.10) и соберем
коэффициенты при фиксированной структуре J-[ /{X^r) “1 (Xя,). Непо-
рг рг
§ 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРА ОПЕРАТОРА EXPjaQ,;
167
средственный подсчет показывает, что полюса Хсрг<] = ХаЬ,к и = отсутствуют. Это означает, что RN можно переписать в следующем окончательном виде:
{^рг}, {^-аг>}) =
= {П п"ПКг, &)} {п п"л^, Кг)) {П П (Кг.^КглУ1) *
рг ab рг ab j = 1 k = 1
*{ПП№.-b5b.tr1} {*&}, {'!})¦ (з.гз)
j=1 *=1
(д) Напомним, что RN убывает как 1/Х по любому X, если остальные зафиксированы. Отсюда следует, что полином PN по каждой из переменных ХрГ и Хврг имеет степень (и— 1), а по каждой из переменных Хеь и Х„ь он имеет степень (N—n— 1). Отметим, что из формулы для вычета формфактора (2.10) следует формула для вычета коэффициентов RN. Эта формула означает, что в случае (X(pr)k = (Xpr)J или (Хаь)к = (Хаь)] полином PN сводится к Рц-1. Благодаря симметрии достаточно рассмотреть два случая (Xpr)„ = (Xfr)„ и (Xcab)N-„ = (Xab)N-„. В первом случае
