Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Представление формфактора оператора exp {a(?i}
В настоящем параграфе будет построено представление формфактора F%, аналогичное представлению (VIII.1.3) для скалярных произведений. В § VI. 5 рассмотрен оператор сдвига. С помощью результатов этого параграфа докажем лемму.
162
ГЛ X ФОРМФАКТОРЫ
Лемма 1. Формфакторы F% и Fсвязаны следующей формулой:
П({^С}, № {/f}) = exp{otiV}( П /(^Г1^?))*
{г1 (^с) П (Д,//д)}, {/_1 (*f) П №/?*)})• (3-1)
кф] кФ]
Доказательство. Применяя оператор сдвига (см. формулы (VI.5.12), получим:
<0| П С(^с)ехр{ае1} П B(Xf)|0> =
j=l к= 1
= ( П /(^c)/_1af))<0| П C^Jexplaea П В(^)|0>. (3.2)
j=i j=i *=i
Учтем теперь, что Q\ = Q—Qi, где Q2 — оператор числа частиц во втором узле решетки, Q — оператор полного числа частиц. Тогда правая часть запишется в виде
<0| П C^expfaei} П B(Xf)|0> =
J~1 k=l
N N
= ехр{aiV}<0| П C(^c)exp{-ae2} П 8(Xf)|0>. (3.3) j=1 к= 1
Напомним, что С и В—матричные элементы матрицы монодромии, у которой первый и второй узлы переставлены местами. Вспоминая определение формфактора, получаем:
<0| П С(^с)ехр{-ае2} П В(^)Ю> = ^“({ЛС}, {>*}, {тс}, {тв}).
J=1 1
(3-4)
Подставляя выражение т} через 1} (2.8), завершаем доказательство леммы 1.
Выясним теперь, каким образом формфактор зависит от переменных lf = l(kf)).
Лемма 2. Формфактор F% можно представить в виде
F°N({XC}, {>*}, {Iе}, {/*}) =
=1(Ш(>?))(Ш_1 (>?))**({>?}> №ъ}, {КЬ {>¦&})¦ (3-5)
рг рг
Здесь суммирование ведется по всем разбиениям набора {A,c}jv на два непересекающихся подмножества {Хр, }„ и {Хеь }к-п и по разбиениям набора на два непересекающихся подмножества [ХрГ }„ и {Хвь }n-h-
Индекс у множества означает число элементов. Эти разбиения независимы, за исключением ограничения на число элементов:
card {ЛрГ} = card {XBr}=n, card = card {Хвь} = N—n.
§ 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРА ОПЕРАТОРА EXPJugJ
163
Произведение означает произведение п множителей /(Xе),
pr
Xе g {Xer}. Произведение / ~1 (X®,) означает произведение п множи-
рг
телей l~1(Xf), Xfe{X%r}. Таким образом, F %—линейная функция каждого из /(Xе) и каждого из l~1(Xf). Коэффициенты RN являются рациональными функциями X и не зависят от 1(Х;) Доказательс! во состоит из трех пунктов.
(а) Из формул (VIII 1.3), (1.14) ясно, что от каждого индивидуально! о /, формфактор зависит следующим образом: F%=t,jl,-+-bj + c]lJl (коэффициенты ар Ь}, с, не зависят от /,). Таким образом, получаем для формфактора представление:
п=ХП/^)Пг1^-)^(^-}’ {*¦-}> {^о})- (3.6)
(+) ( )
Суммирование ведется по разбиениям набора {Xе} U {Xя} на три непересекающихся набора {Х+}„+, {Х_}„ , {Х0}„о (индекс у подмножества означает число элементов), причем n++n-+n0 = 2N.
(б) Используя тот факт, что XXX Д-матрица коммутирует с матрицей s (х) ?, где ё = ехр(естг) (см. VI.2.14), легко доказать, что
МЬ {в'2/,с}, {е-2г?}) = П({^с}. № {?}. {'?}) (3-7)
при любом в; отсюда следует, что п+=п-.
(в) Применяя лемму 1, заключаем, что набор {Х+} включает только Xе, а набор {Х_} включает только Xя. Это завершает доказательство леммы 2.
Отметим, что из свойств коэффициентов скалярных произведений (см. замечание после формулы (VIII 2.11) и формул (1.14), (2.8)) следует, что RN убывает по каждому Х} (Х} е {Xе} U {Xе}) как XJ \ если Xj-* со, а остальные X фиксированы.
Рассмотрим коэффициент R в (3.5), соответствующий следующему разбиению:
{ХрГ} = {Xе}, {Х&} = 0, {X* } = {*¦*}> {Х&} = 0. (3 8)
Будем называть этот коэффициент старшим и обозначим его ah'-
ой ({Xе, Xя}) = Rn ({Xе}, {0}, {Xя}, {0}). (3.9)
Лемма 3. Коэффициент обладает следующим набором
свойств, которые его фиксируют однозначно:
(1) af/—рациональная функция 2N «импульсов» {Xе} U {Xе}.
(2) CTjv — симметричная функция всех Xе (j=\,N) и всех Xf (R= 1,..., N) (по отдельности).
(3) Устремим к бесконечности какое-то одно X из набора {Xе} U {Xя}, а все остальные Х; зафиксируем; в таком случае ст& (при N^1) убывает как 1/Х.
(4) Единственными сингулярностями функции являются полюса первого порядка при совпадении одного из Xе с одним из Хв, причем
164
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
вычет сводится к ст*_! . Благодаря симметрии достаточно рассмотреть случай Л* -> Х%:
стй({Лс}, -*¦ icQ^ — Xfi)-1 х
х {ехр {а} П П/?/?*} CT5v-!({*-;}> {*-?})• (зло)
i= 1 j= i
В правой части среди аргументов ст*-! отсутствуют Х% и Х§. Обозначения стандартны (см. (2.3)).
(5) При N=0 имеем
аЬ = 1. (3.11)
Доказательство. Свойства (1) и (2) тривиальны. Свойство (3) следует из формулы (1.14), сводящей формфактор к скалярным произведениям, и свойств коэффициентов скалярных произведений, которые сами убывают как 1/А. (см. замечание 1 в § VIII.2). Как следует из замечания в конце §2, сингулярности функции ст*({Лс}, {Xе}) могут быть расположены лишь при совпадении какой-нибудь пары Xj из набора {Xе}\]{ХВ). Это полюса первого порядка. Однако ст* является симметричной функцией всех Xе, значит, вычеты в полюсах Xf = X% равны нулю. По аналогичной причине полюса отсутствуют и при Xf = Xf!. Итак, мы доказали, что единственные полюса СТу({Лс}, \ХВ\) — это полюса первого порядка, расположенные при совпадении Xе и Xf. Формула для вычета (3.10) получается следующим образом. В формулу для вычета формфактора (2.10) следует подставить представление формфактора (3.5) и выделить коэффициент при /(>4 ) I 1 (Хв)- Это завершает доказательство пункта (4) леммы 3.
