Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
Здесь мы заменим сумму на интеграл, как в (1.3.6) и воспользовавшись уравнением (1.3.7). Таким образом, асимптотическое выражение для det 0 имеет вид
det©=n(2HLp(XJ.)). (4.7)
j= i
Матрица G в термодинамическом пределе превращается в интегральный оператор
G^l-±K; (je<p)(X)= J К(Х, ц)ф(ц)</ц. (4.8)
Таким образом, термодинамический предел якобиана равен:
lim [det* (ф') / П (2 л L р (/.,))] = det ^ 1 - ~ Kj. (4.9)
В правой части стоит определитель интегрального оператора. При
вычислении корреляционных функций мы будем пользоваться асим-
птотическим выражением
detwfo') = det(l—П (2я/, р(*,)). (4.10)
Для возбужденных состояний плотность р (/_) немного меняется, однако формула (4.10) сохраняется, если под р (А) понимать новое значение плотности вакансий.
ГлаваХ
ФОРМФАКТОРЫ
В настоящей главе начинаете» вычисление корреляционных функций, которое будет завершено в следующей главе. Рассматриваются корреляторы в модели НШ. Основное внимание сосредоточено на простейшем корреляторе — корреляторе токов. В § 1 задача формулируется в рамках алгебраического анзатца Бете. Вводится обобщенная двухузельная модель, которая содержит две произвольных функции l(k) и т (А). Коррелятор токов связан с оператором числа частиц в первом узле Qx. В § 2 описаны свойства матричных элементов оператора exp{agt} (здесь at—произвольная постоянная). В § 3 дано определение формфактора- оператора ехр {oc?>i! и получено для него представление, аналопгагое представлению (VIII. 1.3), (VIIT.2.10) для скалярных произведений. В § 4 исследуются формфакторы операторов Qx и Q Формфакторы рассматриваются как функционалы произвольных функций 1(Х) и т (А). Это функционалы весьма специального вида, зависящие от значений функций 1(Х) и т(Х) в конечном числе точек Х}.
§ 1. ОБОБЩЕННАЯ ДВУХУЗЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
157
§ 1. Обобщенная двухузельная модель
Рассмотрим в модели НШ оператор тока j (д:) = ф + (х) ф (х). Поставим задачей вычислить одновременной коррелятор токов
<Л*1)7'Ы> = <П|у(*1)Л*2)|П>/<П|П>- (1-1)
Здесь |й>— основное состояние гамильтониана модели НШ, описанное в § 1.3. Коррелятор (1.1) является функцией от модуля разности 1*1 — х2\ (см. введение к части III). Поэтому положим в дальнейшем г, =0. х2 = х>0. Напомним (см. введение), что через оператор 2,(.г) числа частиц на отрезке [0, х ]
X
Qi{x)=\J(x')dx' С1-2)
О
коррелятор токов выражается следующим образом:
<:Л*)Л°):>4Й<е?(*)>' 0-3)
Переход к нормальному упорядочению выражается формулой:
<: /(х)Л0):> = </(ф'(0)>-5И<Л0)>. П-4)
При х>0
О(*)./(0)> = <: Л*)Л°):>-
Схема вычисления среднего значения оператора Q \, которая проводится в этой и следующей главах, такова. Мы исследуем общий матричный элемент
<о|Пс(я,с)еШ*(ь?)|о> (L5)
j-1 к=1
при конечном N. Сначала рассмотрим случай, когда наборы {/,с} и {Ав} не совпадают, а спектральные параметры )!], A® (J, к= 1, ..., N) представляют 2N независимых комплексных переменных. Затем положим {Ас} = {Ав} = {А} и набор {А} устремим к решению системы уравнений Бете. Наконец, перейдем к термодинамическому пределу (*-> оо). Таким образом, получим окончательный ответ. Отметим также, что удобно рассматривать вначале матричные элементы производящего оператора ехр {r/.Ql} (а—произвольное комплексное число).
Так же как и при вычислении норм, удобно рассмотреть не конкретную модель НШ, а сразу целый класс моделей, характеризующихся произвольной функцией. Введем для этого обобщенную двухузельную модель и определим в ней матричный элемент
(1.5). Модель НШ будет частным случаем обобщенной модели, при специальном значении функционального параметра. Матрица монодромии такой обобщенной модели задается как матричное
158
ГЛ X ФОРМФАКТОРЫ
произведение двух матриц монодромии (произведение «коммутирующих» матриц монодромии; см. § VI.5):
г(Ч=гр1Чг(ЧЧ-(с<Ч?<Ч). (,.6)
^-(едад) 2)' <1-7)
Матрица Г(1|Х) ассоциирована с первым узлом, Т(21 к)—со вторым узлом двухузельной решетки. Матричные элементы матриц T(i\ к) являются квантовыми операторами, которые коммутируют в различных узлах решетки. Матрицы T(i\ X) и T(i\\i) в одном узле сплетаются R -матрицей XXX модели (см. (VI. 1.2) — (VI. 1.4)). Матрица монодромии r(i|X) имеет псевдовакуум |0>, и дуальный псевдовакуум ,<0| со стандартными свойствами:
С,(Х) |0>=0, ^4, (X) 10 >, = а, (X) 10 >,, ЭДЮХ^.^О),, (1.8)
,<0|Л,(Х) = 0, 1<0М1(Х) = в1(Х),<0|, ,<0| A(X) = rf1(X),<0|. (1.9)
Состояние |0) = |0)2®|0)1 является вакуумом для Т(к), причем (см. § VI. 1)
а(Х) = а1(Х)а2(Х), d(X) = dl(X)d2(X). (1.10)
Удобно использовать следующие обозначения:
oil)
Функция I (X) будет основным функциональным параметром двухузельной модели. Оператор числа частиц в i-м узле определим стандартным соотношением (VI.7.6):
в, П влмю>,=«§„ П влмю), (*> 2)’
к=1 к= 1
(1Л2)
,<0| П СЛХк) е, = »8,„<01 П C,(xt) (i, 7=1, 2). к = 1 к=1
Здесь {/ч. j—независимые параметры. Полный заряд равен Q = Ql + Q2-Аналогично определяется любая функция от Qt. В формулах (1.11),
(1.12) было использовано обозначение
С.(Х)=С.(Х)М(Х), В,(Х)=ВД/4(Х). (1.13)
