Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 57

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 84 >> Следующая

п — 1
PN\ekcP,),=(\BPX=W' = ic{ П (Xnr-Xcprt] + ic)(XpriJ-X^r + ic)-
— ехр {ос} П (Mr-l$r.j-ic)&.%.j-X!r-icj}PN-1. (3.24)
j= i
Справа среди аргументов полинома PN-i отсутствуют ХрГП и ХрГ „. Аналогично, если (Xeb)N-„ = (X%b)iv-„, то
CN-n-l
= lCj П (XN-n~Xab,j + lc) X
^ J= 1
N — r— 1
x(Xeb'j-XN-„ + ic)-ex p{oc} f] (XN-„-XXj-ic) x
X(Xab,j~XN-„— /cjj’/’jv-i. (3.25)
Справа среди аргументов полинома PN~i отсутствуют (Xeb)N-„ и (Xab)N-n- Отметим, что эти свойства и условие Р0 = 1 фиксируют PN однозначно для любого N.
(е) Теперь все готово для того, чтобы доказать по индукции, что
{^аг>}> {Хрг} , {^5.}) = Я“({ЛрГ}, {Лрг}) ^3v-„({^ab}, {Я.^}).
(3.26)
168
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
Эта формула эквивалентна (3.16). Определение см. в (3.12). Рассмотрим разность
Докажем по индукции, что AN = 0. При N = 1 это легко устанавливается непосредственным вычислением. Пусть Д, = 0 при j=l, М— 1. Докажем, что и Ам = 0. Рассмотрим Ам. Один из наборов — либо {Хрг\, либо {ХвЬ} — является непустым. Рассмотрим первый случай, когда набор {Хрг\ непуст и включает п элементов. По переменной (Хрг]„ величина Ам является полиномом степени (и — 1). Значения этого полинома в п точках сводятся к Ам-1 • При помощи формул (3.24) и (3.13) получаем:
Последнее равенство получается по индуктивному предположению. Если полином степени (и—1) равен нулю в п точках, то он равен нулю тождественно. Случай, когда {Хрг} = 0 рассматривается аналогично, так как в этом случае набор {ХаЬ} содержит М элементов, а по ХаЬ имеются такие же рекуррентные соотношения, как и по Хрг. Итак, шаг индукции сделан. Доказано, что Ам = 0. Это завершает доказательство формулы (3.26) и леммы 4 в целом.
В заключение отметим, что, подставляя (3.16), (3.5) в (3.1), получим следующую важную инволюцию для ст*:
§ 4. Формфакторы операторов Qt и Q\
В следующей главе мы увидим, что для изучения свойств среднего значения Q\ необходимы некоторые сведения о формфакторе оператора Qi. Он определяется стандартно:
Здесь {Xе] и {Хв} являются, вообще говоря, различными решениями уравнений Бете. Легко выразить через /•*:
Напомним, что из ортогональности волновых функций с различными наборами спектральных параметров следует, что /'л|«=0 = 80,л- Соответственно имеем:
¦Ajv({Ap,.}, {AS.}, {Xpr}, {Адь}) — {A„;,},{A,pr}, {AS,}) —
ТОЦ-ДМ}, {>?}). (3.27)
{Ас}) = ехр{иа}ст„ “({Ас}, {Ав}).
(3.29)
N
N
=<oinc(x?)e1 пв(^)ю>- (4Л)
к =
F^-dFS/d а|„=0.
(4.2)
СТл I « = 0 —8о,л-
(4.3)
§4. ФОРМФАКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ Ql я Qf
169
Дифференцируя соотношение (3.5) и имея в виду (3.16), получаем ^ = {п {Я.*}). (4-4)
(Следует отметить, что а' сводится к формфактору тока в модели НШ:
<^({Хс})17(0)|^({Хв})) = г|Д (^-^)Ja^({Xc}, {Хв}).) ¦
Величина а' определена так:
CT5v({Xc}, {Хв}) = Зст^({Хе}, {Хв})/5а|а;=о- (4.5)
Из формулы (3.29) следует, что
а^({Хс}, {ХВ})=-<^({ХВ}, {Xе}). (4.6)
Следствием леммы 3 являются следующие свойства функции а'„.
(1) <з'п — рациональная функция 2п переменных {Хс}„, {Хв}„.
(2) Она является симметричной функцией всех Xе и симметричной функцией Хв (по отдельности).
(3) Если какое-то Xj из набора {Xе} (J {Xе} стремится к оо, а остальные фиксированы, то а'п убывает как 1 /Xj.
(4) Единственными сингулярностями а'п являются простые полюса, расположенные при Хе->ХВ; при этом вычет сводится к а^_,. Достаточно рассмотреть случай Хе->ХВ = Х„:
<*;({хе}„, {хя}и)|^^^=
= ic{Xcn-XBy4n\\f%fBj-nYlfCnjffn}<-i({^C}r,-u {XB}„-!). (4.7)
Lj=i j-i J
(5) Для малых n имеем:
ст'о=0, ct'i(Xc, XB)=g(Xe, Хв). (4.8)
Эти свойства однозначно фиксируют ctJ, и позволяют вычислять эту функцию рекуррентно по п, например,
({Xf5 Xе}, {Xf, Xf}) = 2/c3(Xf + Xf—Xе — Xе) (Xе —XB) l, (4.9)
j,k= i
^з({Хе, Xе, Xе}, {Xf, Xf, Xf})= PI (Xf—Xfc) ^4ic1
j,k= 1
— 4гс5 Г ? (XB —Xe)l^(XB — Xe)(XB2 —Xe)(XB — Xe)l. (4.10) -j = i J p )
Последняя сумма здесь берется только по циклическим перестановкам Xf, Xf, Xf. Для произвольного N a'N при с->оо имеет вид
<^({Хе}, {XB})=-2^1(fc)^-1,+ 1( ? (XB-Xe)J *х
N N
i
-j=i J
П П (V-W
„ЛГ(ЛГ-1)+1
(4.11)
170
ГЛ. X. ФОРМФАКТОРЫ
а асимптотика при с-*0 имеет вид <*№с}, {*¦'})=
Z Z П ^q„)^(^p„+ i’ ^qJ~c2n 1 (4-12)
/ P,Qn= 1
(суммирование ведется по двум независимым перестановкам Р и Q). При произвольной константе связи с для a'N можно получить представление в виде определителя [10.1].
Рассмотрим теперь формфактор оператора Q\:
п({хс}, {Ав}, {/с}, {/b})=<4M{ac})ig?|'M{^})>=
= <0| П c(^)Gi П В(^)|0> = 52^/5а2|а=о. (4.13)
j= 1 k= 1
Дифференцируя представление (3.5), получим для F?: fjv = ^jv({AB}, {AC}) + ^ ]~J 1(Af)^cyXr({Xc}, {AB}) +
+2 X' te)}*
1) Сpr J {.pr ab J
*{nn№&> Л*г)1а;, ({*?}, {*?})¦ (4.14)
L pr ab J
Здесь суммирование ведется так же, как и в (3.5), но мы явно выделили два слагаемых, соответствующих разбиениям {л.рГ} = {XC}N, {АрГ} = {Ав} и {Хсрг} = 0, {Авг} = 0. Мы обозначили card{i?r} = = card{!?.}= и, ст" = д2ст?/да2 |e=0.
Лемма. Если все /у = /в= 1, а Xе и Хв фиксированы, то Fy обращается в нуль при N> 0:
«({ху},{А;?},{/?=1},{/?=1})=0, N> 0. (4.15)
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed