Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, для того чтобы доказать гипотезу (2.2), (1.4), достаточно доказать, что величина ||Xj, ..., Xv |j v обладает пятью перечисленными выше свойствами.
§ 3. Доказательство гипотезы Годена
В этом параграфе мы докажем, что величина ЦХ^ ..., Xv |i N действительно обладает необходимыми свойствами и завершим доказательство расширенной гипотезы Годена. Равенство ||Х||0=1 эквивалентно формуле <010) = 1 (2.13). Устремляя в формуле (VIII.1.2) кс^кв, получим j| X, |:, = z,. Это завершает доказательство свойства
(5). Так как [С(Х), С(ц)] = [В(Х), В(ц)] = 0 (см. (VI.1.11)), то симметрия (свойство (1)) очевидна. В конце § VIII.3 исследовались свойства квадрата нормы <'hvl'Kv> = ,(0| Пс(х,)Пв (Xt)|0>, который отлича-
j *
ется от || Xj, ..., ХуЦ^ тривиальным множителем. Там было доказано свойство (2); свойство (3) получается из (VIII.3.23) элементарным вычислением.
Докажем свойство (4). Оно эквивалентно следующему утверждению:
<'ЫШ)1'Ы{М)> = () ПРИ ZJ= 0’ (3.1)
где N>0, Х^ — фиксированы и удовлетворяют системе уравнений Бете. Рассмотрим набор {Х^}, состоящий из различных чисел . Введем величину 5:
5, = min(|Xj —Х^|/4). (3.2)
Производные функции г (к) равны нулю в точках Xj, значение этой функции в точках kj равно г}. Определим новую функцию rin)(X),
154
ГЛ IX НОРМЫ БЕТЕВСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
которая равна г} не только в точке XJt но и в ее окрестности радиуса s. В остальной части комплексной плоскости она доопределена некоторым гладким образом. Отметим, что квадраты норм ! \|/v({a})> одинаковы для обеих функций г (А) и гы) (А). Действительно, они зависят лишь от 2N переменных Х} и z} (см. § VIII.3), которые совпадают в обоих случаях. Следует отметить, что импульсы Х} являются решением уравнений Бете и для новой функции г(п) (X):
г<п)(^)П(/(^)//(^Л)=1- (3.3)
кф J
По определению, г(п)(XJ) = r(XJ) = rJ. Отметим также, что для функции г{п)(Х) не только Х} ( / = 1, ..., N) являются решением уравнений Бете, но и Х} +у (здесь у произвольное комплексное число, | >' | < ^ )-Действительно, функция /(Х}, Хк) зависит лишь от разности Х} — Хк, а функция г{п)(Х) не меняется при сдвиге на у. Докажем теперь, что скалярное произведение
<°1 Пс(^) П B(K+y)\0> = S(y) (3.4)
j=1 к= 1
равно нулю. С этой целью вычислим матричный элемент
<01 ПС(^)т(ц)П B(^+J)|0>. (3.5)
J=1 k=l
Здесь (ц) + ?)(ц) — след матрицы монодромии (см. § V.l,§ VI. 1).
Этот элемент можно вычислить двумя способами, действуя оператором x(|i) налево или направо. Обе обкладки являются собственными функциями т(ц), однако собственные значения различаются:
<01 JTС(X.J)т(jj.)TJ B(A.jt+j)|0> = j= 1 k=1
=е(и, {я,})ад=е(ц, {*,+*}) ад- (3.6)
Здесь 0(ц)—собственное значение т(ц) (см. § VI, формулу (1.35)); так как 0(ц, {А^})^0(ц, {Aj+j}), то 5(у) = 0. Таким образом, завершено доказательство свойства (4).
Итак, мы доказали, что величина || ... || jy обладает всеми
необходимыми свойствами, упомянутыми в теореме § 2. Отсюда следует, что справедливы формулы (2.2) и (1.4). Обобщенная гипотеза Годена доказана.
Следует отметить, что формула для норм в XXZ случае доказывается точно так же; доказательство приведено в работе [8.3]. На случай R -матрицы XXZ модели формула (1.4) обобщается следующим образом:
<'1/лг({^})I 'l,iv({^-})> =(sin2’п)лг(П /(^j> M)detiv(<p')> (3-7)
]*k
l>MW)>= П B(A,)|0>, <^({X})|=<0| П C(^),
J=1 J=1
§ 4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
155
Ф;)П(/(^М/ЖЛ))=1> к= 1
f(k, n) = sh(X-n + 2?T|)/sh(X-n).
Здесь <p'jk = d<pj/dkk, определение ф} дано в (VI. 1.34).
Подчеркнем, что формулы (1.2) и (3.7) справедливы для любых моделей с R -матрицами XXX или XX/ типа соответственно. Например, для самой XXX модели магнетика Гейзенберга, используя инволюцию В + (к*) = — С(Х) (см. формулу (V.5.11)) и явный вид функций а (к) и d(k) (см. VI.3.11), (VI.3.12)), можно получить из (1.4) формулу для нормы бетевской волновой функции. Аналогичным образом из формулы (3.7) можно получить и явное выражение для нормы волновой функции в XXZ магнетике. В модели синус-Гордон при рациональном значении константы связи у/я псевдовакуум является нормируемым, т. е. можно положить <010) = 1 (см. § VI.3, приложение к гл. VI и § VII.5). В этом случае тоже можно получить явную формулу для нормы.
§ 4. Термодинамический предел
Здесь мы обсудим норму волновой функции в термодинамическом пределе (см. § 1.3), представляющую наибольший интерес с физической точки зрения. Все выкладки будут проделаны в модели НШ. Норма волновой функции дается в этой модели формулой, получающейся из общей формулы (1.4):
<'MW)l'MW)> = <-*(n/(^ M)detw(q>'). (4.1)
jV*
Матрица ф' в модели НШ есть
Ф;< = №+ I К)]-Щр Ч (4-2)
т= 1
Обсудим поведение якобиана det,y^') в термодинамическом пределе. Для этого запишем N х ^-матрицу ф' в виде произведения двух матриц:
Ф ' = G0, detjy^'^detQdetG. (4.3)
Здесь 0 — диагональная матрица:
. % = *},»„ », = L+ Z К1я, (4.4)
т= 1
а матрица G равна
= Kjt = K(Xj, lt). (4.5)
Термодинамический предел (см. § 1.3) величины 9, легко вычислить
8, = 2я?р (>.,). (4.6)
156
