Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Читателю следует внимательно изучить настоящую главу, так как математический аппарат, разработанный в ней, будет широко применяться в дальнейшем. Например, при вычислении формфакторов в гл. X идея останется прежней, однако 1ромоздких технических деталей станет гораздо больше. В § 1 дается определение скалярного произведения. В § 2 исследуются свойства коэффициентов в выражении для скалярного произведения. В § 3 доказана ключевая формула для вычет скалярного произведения.
§ 1. Скалярное произведение
В рамках алгебраического анзатца Бете (гл. VI) рассмотрим скалярное произведение SN:
S\ -=<0| fl ciK) П ?(*¦?)10>- (1.1)
j=i *= i
Здесь предполагается, что 2N комплексных чисел [ к j] и [X в' являются независимыми переменными и не подчинены каким-либо уравнениям. В частности, не предполагается, что для них выполнена система уравнений Бете. Скалярное произведение является симметричной функцией N переменных Xj и симметричной функцией N переменных А." Это следует из соотношений [С(А), С(^)j = [В(А.), Д(ц)] = 0.
Нетрудно проверить, чь' пш бы число операторов «уничтожения» С в (1.1) отличалось бы от числа с^ешторов «рождения» В, го скалярное произведение стало бы равным nj'rio. В принципе с помощью коммутационных соотношений (VI.1.12), (\’!.1.20). (VI.1.24) скалярные произведения можно вычислять, нанример,
51=<0|С(Ас)Д(АБ)|0>=^(лс, Хв) {a(Xc)d(XB)-a(XB)d(Xc)}. (1.2)
Исследуем свойства скалярных произведений при любом N (см. § VI. 1). Многократно применяя формулу (VI.2.2), можно убедиться, что скалярное произведение представимо в виде
^=<01 пс(^)пад)ю> =
- ;-i k=i
142
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
(1.3)
Здесь суммирование ведется по подразбиениям множества {A.C}U{^B} из 2N элементов на два непересекающихся подмножества {А.*4} и \Х°) с равным числом элементов:
Здесь card обозначает число элементов множества. Порядок элементов внутри подмножества несуществен. Число слагаемых в правой части
(1.3) равно С%. Величины Кц являются рациональными функциями только от Xj. Они не зависят от вакуумных собственных значений а (А.) и d(X). При исследовании явного вида функций Км удобно будет использовать следующие наборы спектральных параметров Xj:
«o = card{A.BC}=card{VB}, N— «о = card {Vе} = card {А.вв}. (1.8)
Иногда мы будем писать число элементов как нижний индекс множества, например, {Хос}п означает, что card {Хпс) = по.
Дадим следующее определение. Рассмотрим разбиение, для которого «о = 0:
{VC} = {V}, {ХАВ} = 0, {Х°с} = 0, {*"} = {**}. (1.10)
Коэффициент Kn в (1.3), соответствующий этому разбиению, назовем старшим коэффициентом:
Скалярное произведение задается формулой (1.3) при любом N. Ниже нам нужен будет явный вид (1.3) в (N— 1)-частичном секторе:
и {^в} = М и {х°}, П {х°} = 0,
card {A.c}=card {A.B} = card {V} = card {XD} = N.
(1.4)
(1.5)
{Vе} = {V} n {Xе}, {X™} = {x°} n {Xе},
{VB} = {V}n{V} {VB} = {V}n{V}.
(1.6)
Отметим, что выполняются следующие тождества:
{Vе} U {Vя} = {хА}, {хАС} U {Vе} = {V},
{Vе} U {V*} = {V}, {V*} U \ xDB} = {Xя}.
(1.7)
Число элементов в наборах обозначим так:
(1.9)
(1.11)
§ 2 СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ Кк
143
В заключение отметим, что в случае ^-матрицы XXZ модели скалярные произведения определяются точно так же и обладают вполне аналогичными свойствами '[8.2].
§ 2. Свойства коэффициентов Кц
Как показано в § VI.6, функции а(Х) и d(X) в (1.3) являются произвольными. Идея исследования свойств коэффициентов Kn состоит в таком выборе функций а (X) и d(X), чтобы все слагаемые в (1.3) обратились в нуль, кроме одного. Это позволит выразить Kn через статсумму на неоднородной решетке ZN, исследованную в § V.6 и § VI.9, § VI.10.
Теорема 1. Старший коэффициент Kn в (1.3) связан со статсуммой Zn следующим образом
Здесь
<Ч{ЧВ}, = W + icI2}). (2.2)
Доказательство. Рассмотрим «неоднородную» матрицу монодромии XXX модели (V.5.26). Вакуумные собственные значения а(Х) и d(X) даются формулой (VL3.14). Рассмотрим случай M=N (т. е. число узлов равно числу операторов В (или С) в (1.3)). Вычислим в такой модели скалярное произведение Sn (1-3) для некоторых наборов {Хв\ {Xе} N. Параметры неоднородности у, выберем следующим образом:
Vj = XC + icl 2. (2.3)
При этом вакуумные собственные значения станут равными
<*(*•)= п (*•-*•?)¦ (2-4)
j=1 j=i
Так как теперь rf(X^) = 0, то в формуле (1.3) остается одно слагаемое, содержащее старший коэффициент (1.11):
'{Х,с} {X,®
‘-N1
<01 П <?(*•?) n*(W>= п
(2.5)
. / 1 1 _ V*/\ 11 VI --jry-k ~1 1~~"\ fiC) ГЛВ1
J = 1 k= 1 \j,k= 1 / \{^ } {А, }
Используя формулы (VI.3.18) и (V.6.12), (V.6.15), получим
<о IП с(^с) П s(xf) ю>=<о | П с| о'> <о' | П s| о>=
j=l 1 J= 1 k=1
Ы)М№)Ы)- (2-6)
144
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Учтем теперь (2.3):
<0inc(^)lW?)l0>=
J=1 к=1
= zw({^}, {le + R72})ZN({^}, {Ь‘-Иг/2}). (2.7)
Первый сомножитель в правой части можно явно вычислить, используя рекуррентное соотношение (VI.9.11):
Zv({^}, {Xe + ic/2})= П (A.f-^-ic). (2.8)
k,j= 1
Подставляя формулы (2.7), (2.8) в левую часть (2.5), получим формулы (2.1), (2.2), что и завершает доказательство теоремы.
