Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
части 1к с k^N. Замечательное поведение неприводимой части по константе связи позволит получить эффективное представление для коррелятора токов в виде ряда.
§ 3. Основные свойства среднего значения оператора Q\
В § 1 установлены важнейшие свойства оператора exp{oc2i}; дифференцируя соответствующие фильтры по ос, легко установить свойства степеней оператора Q” (т^ 0).
Начнем со среднего значения единичного оператора по отношению к бетевскому вектору (IX.1.1)—(IX.1.2)'
|| 1 iu--"{ п/;Л ('MWji'MiM)^
J
= c~N\П/;Л <°l П С(Х,)П B(Xk)|0> = det„(cp'). (3.1)
Lj*k J j-1 k=l Здесь Xj удовлетворяют уравнениями Бете (IX. 1.3). Неприводимая часть единичного оператора такова
С = §<>,*¦ (3 2)
Среднее значение оператора Q, равно:
178
ГЛ XI СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРА Qi
Здесь X,—решения уравнений Бете; || Qi \\N зависит от 4N переменных:
iieiiuHieiM^bW.foMU). (3.4)
и обладает следующими свойствами:
1) II Qi II n инвариантно относительно перестановки четверок
(Xj, Xj, уj, lj)*->(Xk, хь у*, /*). (3.5)
2) || 2i || jy является линейной функцией xN и yN.
3) Соответствующие коэффициенты равны следующим выражениям:
51| Qi l|jv/5yjy=|| Qi ||w-i({Aj}, {Xj}, {yj + A^jjv}, {/,}), (3.6)
dWQiWsldx^WQ. + lU-.dXj}, {xj + KjN}, {y,}, {/'})¦ (3-7)
Здесь в правых частях j= 1, ..., /V — 1;
K]N = K(Xj, Xn) = 2c [c2 + (Xj — Xn)2]~1, jj = lj(fj*lfNj)- (3 8)
Мы использовали обозначение || 2i +41 =11 Qi 11 + 11 111- Эти формулы легко получаются из (1.10), (1.11).
4) Среднее значение ||2i||jy при х, = у^0 (/=1, ..., N) и фиксированных значениях Xt и /, равно нулю-
||6i М{*Л> {xj = 0}, {у, = 0}, {/Л) = С = 0. (3.9)
5) Легко вычислить ||2i||i:
II Qi II1 =Xi- (3.10)
Среднее значение оператора Q2,
II Qi hn=c-w{ п г1 кмад? i^(W)>=
1 Г N Ч N N
=с-^п/"1ко|Пс(я.,)е? П B(xfc)|o> (3.11)
L j,k >к ) J= 1 к= 1
зависит от 4N независимых переменных:
iie?iiN=ue?b({u {*л. {ул. {М) (3.12)
и обладает следующими свойствами:
1) II Qi II n инвариантно относительно перестановки четверок
(Xj, Xj, у„ lj)*-+(Xk, хк, Уь 1к). (3.13)
2) || Qi1| JV — линейная функция xN и yN.
3) Соответствующие коэффициенты равны:
ail е? II*/5у*=и е? IIid*,}. (*л> {у,+^}, {/Л), (3-14)
3iiefiiw/3xJV=n(e1+i)2ib_1({^}, {х,+^}, {ул. -ft}); (зл5>
см. обозначения (VIII.3.25). Мы использовали также обозначение
II (2i + i)2ll = ll Qi II + 21| Qi|| +1.
§ 4. ВЫРАЖЕНИЕ ПС fII» ЧЕРЕЗ НЕПРИВОДИМЫЕ ЧАСТИ
179
4) II Q\ ||JV при Х; = у;=0(/= 1, N) равно неприводимой части:
НС? ММ, {*7 = 0}, {У; = 0}, {/;}) = ЫМ, {*/)}, (3-16)
которая была изучена в § 2.
5) В одночастичном секторе имеем:
не? II (з.17)
В следующем параграфе нам удастся с помощью этих свойств выразить || е? II jv через неприводимые части 1к при ks^N.
§ 4. Выражение величины || Q \ || N через неприводимые части
Рассмотрим обобщенную двухузельную модель. Напомним, что Xj + yJ = zj = i8\nr(k)l8X\i.=h. (4.1)
Выразим
detw((p') (4.2)
через Xj и у j. Заметим, что ср'д = dq>j/d\k, а
ср, = /1пг(^) + / ? In (fjk/fkj). (4.3)
к = 1 k*j
Рассмотрим разбиение набора {Xj} на два непересекающихся подмножества:
{^Ь={Х*}и,и{^}и„ {^}П{^} = 0- (4-4)
Здесь Hx = card {Xх}, пу = card{X*1}, jV=card{X} =nx + nr
Иногда мы будем писать число элементов как индекс множества, например, {Xх}Ях. Введем величины
Фх = /1п/(Хх)+ ? г In (/(Xх, Xх)//(Xх, XJ)), (4.5)
kk*j
Ф^ = г1пw(Xp+ X шеях;, хр/дхJ, XJ)). (4.6)
*k*j
Число величин ф^ равно пх, а число величин ф}' равно пу. Это
позволяет ввести якобианы:
detB;t(9x), (фi)jk = гф^/гX^, (4.7)
detny (Фу), (Ф;)д=гФ>7гх^. (4.8)
Якобиан (4.7) зависит от величин Xj, а (4.8) —от у j. Следует
отметить, что это якобианы точно того же типа, что и detjy^'), они обладают теми же свойствами (IX.2.5—2.11). Приведем эти
свойства.
180
ГЛ. XI. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ОПЕРАТОРА Qj
1) Якобиан (4.7) инвариантен при замене (кк, х*)<->(/.,¦, хД а якобиан (4.8) инвариантен при замене (кк, ук)<->(7ч, у,-).
2) Якобиан (4.7) — линейная функция х„х, а якобиан (4.8) — линейная функция уПу.
3) коэффициенты при х„х и у„у равны соответственно:
ё det Пх(ф'*)1дх»х = det »*-1 (Ф *)’ (4-9)
adet„y(9')I)/a>>„y = detB},_1(cp;), (4.10)
где в правых частях модификация осуществляется по правилу:
Xj = Xj + K(k], 1*Пх), yj = yj + K(k’, Ку). (4.11)
4) При Ху = 0 якобиан (4.7) равен нулю при пх^ 1:
detn;c(9;)|Xj = o = 5o,B:<, det„j,(9y)|Vj=0 = 50j„), (4.12)
5) при н = 0, 1:
det! (ф'[) = х1, det1(9;,) = y1, (4.13)
det0(9x) = det0(9y) = l- (4.14)
Теперь все готово, чтобы доказать следующую теорему. Теорема 1. Якобиан (4.2) выражается в терминах якобианов
(4.8), (4.7) следующей формулой:
|| 1 |]iv=detiv((p')= ? detBl(9;) det,, («>;). (4.15)
{ty = {*'}№’}
Здесь суммирование ведется по всем разбиениям (4.4).
Доказательство аналогично доказательству теоремы
1 в § IX.2. Докажем теорему индукцией по N. При N—1 достаточно сравнить формулы (4.13) и (IX.2.9), чтобы убедиться, что формула верна. Предположим, что (4.15) доказана для всех N^M— 1; докажем ее для N=M. Рассмотрим величину
AM = detM(cp')— ? det^cp^det^cp;). (4.16)
