Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Зависимость скалярного произведения от некоторых из переменных
(3.1) тривиальна. Действительно, из (1.3) видно, что величина
<0| П (C(Xf/d(X^)) [] (*(A.f)/d(A.f))|0> (3.14)
j=i *=i зависит лишь от 4N независимых переменных
г? = г (*•?)> ГТ = Г№1 U= (3.15)
Напомним, что r(X) = a(X)/d(X). В связи с этим в дальнейшем будет удобно ввести обозначения
В(А) = Д(А)/*/(А), C(A) = C(A)/«f(A). (3.16)
Формула (3.5) для величины (3.14) переписывается так:
<0|ПС(А,с)ПВ(А?)|0>--------->
J — 1 k — 1
—.гс(гП fBNj fcNj) <01 Г1 c(*•?) Г1 Bft-f) 10>mod- (3-17)
XS-.X5
J=1
148
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
Здесь приняты обозначения
П^ПКЛ!), (з.18)
Модификация в правой части означает замену
г (А.) -> г(Ц = г (А) (/ (X, Хя) If (XN, >1)). (3.19)
Отметим, что для конкретных физических моделей (НШ, XXX) комплексные переменные rj (3.15) являются значением гладкой функции г(Х) в разных точках. В этом случае вычет в формуле (3.17) обращается в нуль (соответствующий предел конечен). В пределе Хя -> Xf, -> XN (все остальные Xj и Хк различны) скалярное произведение зависит от следующих переменных:
Xcj, Хв}, rcj, rf (j= 1, ..., N— 1); XN, rN, zN;
(3.20)
zN = idlar(X)ldX\^.
Зависимость от переменной zN линейна, а коэффициент при zN определяется вычетом (3.17):
^<01тс(^))сыв(^)( n,B(A.f))|0> =
N j=1 j= 1
= crN( П1/^/^)<°1 ГК^')П B(A?)|0>™d. (3.21)
к- 1 j=l k= 1
Рассмотрим теперь скалярное произведение в пределе Xс, -> Xj Xj (j= 1, ..., N), причем все Xj различны. В этом случае скалярное произведение зависит от 3N независимых переменных Xj< rJt Zj. Здесь
rj = r(Xj); Zj = idlnr(X)/dX\x=kj. (3.22)
Отметим, что все 3.V переменных являются независимыми. Скалярное произведение является линейной функцией каждого из z-r Коэффициент при zN равен (см. (3.21))
^-<01 П1с(^)П1в(^)Ю>=
ozn J= 1 j= 1
= crN{ n/^/w)<0| П С(Я.^ П B(A,j)[0>mod, Jl}=f{KX). (3.23)
ft=l J =1 j=l
В этом случае модификация в правой части означает
n = nh) = r(h)(fjNlfN}), h = h + KjN (j= 1, ..., N 1), (3.24)
3 2с
К„.К[Х„ (3.25,
Формула для модификации z получается из (3.19). (3.22). Коэффициенты перед осщдьшчгми zj легко восстанавливаются из симметрии (в данном случае скалярное произведение инвариантно относительно перестановки троек (Zj,Xj, rj)*->(zk,Xk, rk)).
ГЛ. IX. НОРМЫ БЕТЕВСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
149
Обсудим теперь случай, когда некоторые из Xj совпадают с некоторыми из Xf, однако в наборе {Xlj} нет совпадающих (так же как и в наборе {Xf}). В этом случае скалярное произведение зависит от и Zj, соответствующих совпадающим Xj, и от rf и г j, соответствующих остальным Xj. Формула (3.21) по-прежнему выполняется в этом случае.
Наконец, рассмотрим скалярное произведение в случае, когда Xj = Xf = Xj (у=1, ..., N), причем все Xj различны и удовлетворяют системе уравнений Бете (VI.1.31). В этом случае если имеют место инволюции (VI.7.9), то скалярное произведение (3.14) сводится к квадрату нормы собственной функции следа матрицы монодромии (и гамильтониана). Теперь скалярное произведение зависит лишь от 2N переменных Xj и Zj. Дело в том, что rs можно выразить через Xj с помощью уравнений Бете:
Скалярное произведение по-прежнему является линейной функцией каждого из Zj. Справедлива и формула (3.23); в этом случае модифицируется только Zj (3.24). В правой части (3.23) тоже стоит квадрат нормы, т. е. спектральные параметры Xj 0=1, ..., N— 1) удовлетворяют модифицированной системе уравнений Бете:
Следует отметить, что квадрат нормы собственной функции инвариантен относительно перестановки пар (z}, Xj) <->(zk, Хк). В следующей главе с помощью этих формул удается вычислить норму собственной функции. Следует отметить, что матрица монодромии, сплетающаяся R -матрицей XXZ модели, обладает совершенно аналогичными свойствами. Все соответствующие теоремы доказаны в работе [8.3].
Г л а в а IX
НОРМЫ БЕТЕВСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
В этой главе вычисляются нормы бетевских волновых функций — собственных функций трансферматрицы и гамильтониана. Это важнейший шаг на пути вычисления корреляционных функций. Нормы рассматриваются как функционалы от функции lnr(X) (см. (VIII.3.15). Они являются функционалами весьма специального вида, зависящими только от значений функций д\пг(Х)/дХ в конечном числе точек. Подчеркнем, что идея вычисления норм по существу та же, что и идея вычисления корреляторов в гл. XI. В последнем случае, однако, гораздо больше громоздких технических подробностей.
N
о=П(ЖЛ)//(^М)-
(3.26)
(3.27)
150
ГЛ IX НОРМЫ БЕТЕВСКИХ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
Вопрос о нормах бетевских волновых функций был впервые рассмотрен для модели НШ. В 1972 г. М. Годен, рассматривая эту модель в рамках координатного анзатца Бете, высказал гипотезу
о том, что квадрат нормы волновой функции равен некоторому якобиану. В наших обозначениях эта гипотеза записывается так:
<01 ПЯ + (Ш ^М1°> = ‘"(ПЖ>М)*Мф')-
1=1 к= 1 ]Фк
Матрица ф' размерности NxN—это матрица, матричные элементы которой являются вторыми производными от действия Янга (0.5) на решении системы уравнений Бете; ее явный вид приведен в формуле (1.2.16). Напомним, что при с>0 она является положительной и detjy^'^O. Система уравнений Бете невырождена, все ее решения вещественны для модели НШ и к}фкк при ]Фк. Скалярное произведение собственных волновых функций, соответствующих разным наборам решений системы Бете, равно нулю в силу их ортогональности (см. § VI.2).
