Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ь(п\Х) =
(5.1)
Р„ = V1 +2.5 cos рм„; s = (mA/4)2.
oyL*(X*)oy = L(X).
(5.2)
clet, L (X) = 1 + 2s ch 2X.
(5.3)
136
ГЛ. VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
к предыдущей главе), а квантовые операторы реализовать как конечные матрицы. Вакуумные собственные значения Ь2 равны
ап = 1 + 2s ch (2Х — /у), dn (А.) = 1+2.? ch (2Х + /у). (5.5)
Это приводит к следующим уравнениям Бете:
/1+2^ch(2A., —iy)\M/2 = * sh^-^+iy)
I 1 +2.vch (2a, + iy) J l=1 sh (Xk - A, - iy)
В решеточной модели можно ввести оператор заряда
4^/2
6 = 0 Z («2B-«2»-i) + M(jt-y)/(2y). (5.7)
Рл= 1
Несложно проверить, что оператор заряда коммутирует с трансфер-матрицей, а следовательно, и с гамильтонианом. Бетевская волновая функция *PN (VI. 1.10) является также собственной функцией оператора Q с собственным' значением, равным N. Непрерывный предел всех введенных выше физических величин правильный.
В работах [7.1; 7.3; 7.4; 7.21] проблема ультрафиолетовых
расходимостей в модели СГ была решена с помощью решеточной модели синус-Гордон. Связанные состояния в решеточной модели описываются теми же неравенствами, что и в непрерывном случае (см. формулу (III. 1.15)). Основное состояние модели синус-Гордон на решетке представляет собой сложную комбинацию связанных состояний, зависящую от арифметической природы константы связи. В непрерывном пределе картина упрощается и согласуется с физической картиной, полученной в массивной модели Тирринга с помощью техники ультрафиолетового обрезания, общепринятой в теории возмущений (см. гл. III).
L-оператор решеточной модели синус-Гордон, который зависит от непрерывного параметра, позволяет построить наиболее общий L-оператор, сплетающийся Д-матрицей XXZ модели (так же как L-оператор решеточной модели НШ в случае Д-матрицы XXX модели).
Заключение
Решеточные модели, рассмотренные в этой главе и '’играющие важную роль в КМОЗ, были введены в работах [7.7; 7.8; 7.9; 7.25; 7.26]. Требование сохранения Д-матрицы является их важнейшим отличием от других интегрируемых решеточных моделей [7.20; 7.19; 7.27; 7.29].
Изложенный здесь общий способ построения локальных гамильтонианов был разработан в работах [7.7; 7.9; 7.26] и впоследствии использовался в других задачах. Гамильтониан (1.15) предложен в работе [7.5].
Явный вид оператора эволюции во времени, локальных уравнений движения, уравнения Гельфанда—Левитана и солитонных решений для решеточной модели СГ приведены в работе [7.15].
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II
137
Решение квантовой решеточной модели НШ (3.4) приведено в работе [7.5]. Отметим, что с помощью квантового L-оператора
(1.1) можно построить и другие локальные решеточные гамильтонианы с помощью тождеств следов, обобщающих тождества следов для фундаментальных спиновых моделей; это было сделано в работе
[7.17]. На основе этого же L-оператора в работе [7.14] было построено квантовое уравнение Гельфанда — Левитана для модели НШ, а в работе [7.28] дано его обобщение на случай многокомпонентной модели НШ. Термодинамика решеточной модели исследовалась в [7.2].
Теорема 1 доказана в работе [7.10]. В работе [7.16] она обобщена на случай /{-матрицы XXZ модели. Здесь следует упомянуть о тесно связанных с рассматриваемыми L-операторами квадратичных алгебрах [7.12; 7.13], с помощью которых был построен точный L-оператор для Л-матрицы XYZ модели.
Проблема ультрафиолетовых расходимостей модели СГ с помощью решеточной модели синус-Гордон была решена в работах [7.1; 7.3; 7.4; 7.21 ]. В этих же работах построено основное состояние решеточной модели СГ и выведены уравнения, описывающие ее термодинамику (см. также [7.22]).
В предельном случае L-оператор решеточной модели СГ порождает решеточный L-оператор для уравнения Лиувилля, которое играет важную роль при изучении конформной квантовой теории поля [7.6].
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II
Квантовый метод обратной задачи в настоящее время интенсивно развивается в различных направлениях. Различным аспектам его применения в решеточных моделях посвящены работы [II. 1, 11.2]. Альтернативный подход к непосредственному квантованию непрерывных моделей без предварительного перенесения их на решетку развит в работах [II.4, II.5, II.7—11.9].
Наконец, необходимо упомянуть, что одним из самых значительных итогов развития квантового метода обратной задачи стало создание теории квантовых групп; см. [II.3, 11.6].
Часть III
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
ВВЕДЕНИЕ
Эта часть книги посвящена последовательному вычислению корреляционных функций. Именно квантовый метод обратной задачи позволяет добиться существенного прогресса в их исследовании. Метод вычисления корреляционных функций является весьма общим и применим к любой интегрируемой модели с Л-матрицей XXX или XXZ модели.
Основное внимание ниже уделено одномерному бозе-газу (модели НШ). Явные вычисления проводятся на примере одновременного коррелятора токов:
(0.1)
Ток здесь определен в терминах квантовых операторов поля (см. часть I):
/ (х) = \\i+ (х) \|/ (х). (0.2)
Поля \|)+ (х), \|/ (х) взяты в один момент времени. Вектор | Q) — основное состояние гамильтониана (море Дирака), построенное в § 1.3. Итак, вычисление коррелятора свелось к вычислению среднего некоторых операторов по основному состоянию. Это среднее мы будем изучать так. Сначала вычислим среднее по Л'-частичной собственной функции гамильтониана |4'N), а затем перейдем к термодинамическому пределу (см. § 1.3). Простейшее из этих средних — это среднее от единичного оператора <TV | ТЛ, >, т. е. квадрат нормы собственной функции. Его легко записать в терминах волновой функции % (см. § 1.1):
