Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
<ТК1 Ў*>=]>* |хЛ^,...,7М)|2. (0.3)
о
Гипотетическое выражение для этого интеграла было дано Годеном в 1972 г. [8.1], однако доказательство формулы Годена было дано лишь в 1982 г. [8.3 ] в рамках квантового метода обратной задачи:
<VK|VK> = detK<p'. (0.4)
Здесь ф' — это матрица вторых производных действия Янга (см. § 1.2) на решении уравнений Бете (ср'—матрица размерности NхN):
cp 'Jk = d2SldXjdXk. (0.5)
ВВЕДЕНИЕ
139
Матрицу ф' можно записать в виде <Эфj/dXk, где ф^—переменные, введенные в § VI. 1. Напомним, что в терминах этих переменных уравнения Бете записываются в виде ф7 = 0 (mod 2я). Поэтому можно сказать, что матрица ф' получается при линеаризации уравнений Бете в окрестности их решения.
Вернемся теперь к среднему значению произведения токов, введенному в (0.1). В рамках квантового метода обратной задачи удобно свести его вычисление к вычислению среднего значения оператора
Это оператор числа частиц на отрезке {х1, х2 ]. Легко видеть, что
<a\j{xi)j{x2)\a>= -(l/2)(d2/dx1dx2){Q\Q2(x1, х2)\ау. (0.7)
Благодаря трансляционной ивариантности среднее значение зависит только от разности (хг— х2). Положив х2=х>0, х1=0, получим
Более аккуратное рассмотрение показывает, что в левой части (0.7) стоит нормально упорядоченное произведение токов
При х>0 нормальное упорядочение не существенно:
О (х)i(0)) = <:j (х)j (0):>. Как и норму (0.3), среднее значение оператора Q\(x) можно выразить через волновую функцию %N:
о о
Среднее значение оператора Q1 легко вычислить, используя трансляционную инвариантность:
Вычислить вклад второго слагаемого в (0.12) гораздо сложнее, это удается лишь в рамках КМОЗ. Это связано с тем, что в КМОЗ можно рассматривать корреляционные функции для модели с произвольной матрицей монодромии, которая параметризуется
Q(x2, xj:
х2
Q(x2, x1)=\j(z)dz.
(0.6)
X
<П I j [x)j (0) IП) = (1/2) (<32/dx2) <a\Ql{x)\ П) (x>0).
(0.8)
Здесь Qi(x) — оператор числа частиц на отрезке [0, х\.
X
Qi{x) = \j{x)dx.
(0.9)
О
(0.10)
(0.11)
х L
+ N(N-\)\d2y\dN 2z \%(у1,у2, zu..., zjv_2)|2. (0.12)
<Ч\ | Qj (x) 14%) = {xN/L) ('VN I’Pjv).
(0.13)
140
ВВЕДЕНИЕ
произвольными функциями а(Х) и d(X)— ее вакуумными значениями (см. § VI.6, где проведена классификация матриц монодромии). Поясним это подробней. Рассмотрим «скалярное произведение»
которое является функционалом от вакуумных собственных значений а(Х) и d(k). Ввиду произвольности этих функций, ничто не мешает считать их разрывными, полагая, например, что а(Х%)фа(Хв) при При этом оказывается, что SN имеет полюс первого порядка при к^ А®. причем вычет в этом полюсе сводится к Sjv-i (более подробно см. § VIII.3). Этим важным свойством обладают не только скалярные произведения, но и любые корреляционные функции. Именно это и является основной идеей при исследовании корреляционных функций. Если а (к) и d(k) являются гладкими функциями, то предел кс-+кв существует и однозначно определен. При этом вычет в полюсе величины SN превращается в коэффициент перед выражением
В пределе, когда Xj-*XJ->Xj (j= 1, ..., N), скалярное произве-
дение SN (0.14) сводится к квадрату нормы бетевской волновой функции (если величины Xj удовлетворяют системе уравнений Бете). Развивая приведенные выше соображения и удается доказать, что он пропорционален определителю (0.5), который играет роль производящего функционала при вычислении корреляционных функций.
Поэтому мы начинаем с изложения теории скалярных произведений в гл. VIII; в гл. IX вычислена норма бетевской волновой функции и тем самым доказана гипотеза Годена. Гл. X посвящена исследованию формфакторов, которые интересны не только сами по себе. С их помощью удается вычислить неприводимые части корреляторов—те вклады в корреляторы, которые не удается проанализировать с помощью правила вычетов, сформулированного выше. Здесь же введено важное понятие обобщенной двухузельной модели, которое позволяет вычислять корреляторы сразу для всех моделей, связанных с данной Д-матрицей. В гл. XI построена алгебраическая схема вычисления корреляционных функций в двухузельной обобщенной модели. Основной результат здесь — выражение для корреляторов в терминах неприводимых частей. В гл. XII осуществляется переход к термодинамическому пределу. В результате получено представление для одновременного коррелятора токов в модели НШ. Рассмотрен также коррелятор двух спинов в XXZ магнетике Гейзенберга.
SN (см. § VI.6):
N N
N
sN=<o\UcW)Tl вМ)\о>>
(0.14)
j= 1 к=1
(0.15)
§ 1. скалярной произвьдение
141
Глава VIII
ТЕОРИЯ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
В настоящей главе будут исследованы свойства скалярных произведений, лежащие в основе вычисления нормы бетевских волновых функций и корреляционных функций. Скалярные произведения рассматриваются как функционалы вакуумных собственных значений а(А) и </(А) (см. § VI.6). Скалярные произведения оказываются весьма специальными функционалами этих произвольных функций, они зависят только от значений функций а(Х) и d(/.) в конечном числе точек. В главе в основном рассматривается случай Л-матрицы XXX модели; обобщение на случай Л-матрицы XXZ типа очевидно.
