Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 45

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 84 >> Следующая

§ 4. Классификация квантовых L-операторов
В настоящем параграфе мы увидим, что квантовый L-оператор решеточной модели НШ исчерпывает все L-операторы, сплетающиеся /^-матрицей XXXмодели и обладающие вакуумом. Для L-оператора (1.1) зафиксируем произвол в выборе функций р 1 следующим образом: р + = 1, р“ = 1 +(сД2/4) vj/vj/„ (см. (1.6)). Этот L-оператор зависит от произвольного комплексного параметра Д. Легко ввести в него еще три произвольных комплексных параметра. Сдвинем спектральный параметр, переходя к оператору L{X — v) (V.2.5), умножим L-оператор на произвольное число и введем параметр е, умножая слева на ехр {eaz} (VI.2.14). Тем самым от L-оператора (1.1) перейдем к L-оператору следующего вида:
где
Р» = i[at„1)d („0) -a,n0)dt„1)] + cdt„l)at„1)\|/„+ \|/„,
!>«, = [>„, v|/m] = [\J/„+, vj/m]=0.
Этот L-оператор сплетается ^-матрицей XXX модели, имеет вакуум (ф|г10)=0), вакуумные собственные значения равны
ая(\)=*а™к + а?>, dn{X) = d^X + d'n°\ (4.2)
Здесь а(п \ а[п'\ d|,0), d"] — четыре произвольных комплексных параметра в каждом узле решетки.
Теорема 1. L-onepamop (4.1) порождает матрицу монодромии с произвольной рациональной функцией a(k)jd(k).
Доказательство. Построим неоднородную матрицу монодромии Т (л):
Т(X)=L (М| X.}...L (11X). (4.3)
Здесь числа ап и dH в каждом узле решетки, вообще говоря, различны. Таким образом, Т{Х) зависит от 4М произвольных комплексных параметров. Для Т(л) (VI.1.9) отношение a(X)jd(X) равно
а(^)_ гт . /и дч
«*(*) „=1
134
ГЛ. VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
так как число узлов решетки М произвольно, то в правой части стоит произвольная рациональная функция, что и требовалось доказать.
Напомним, что в § VI.6 было доказано, что матрицы монодромии параметризуются функцией a(X)/d(k). С помощью L-оператора (4.1) можно построить матрицу монодромии Т (А.) с произвольной аналитической функцией a(X)ld(\). Для этого следует приблизить аналитические функции рациональными. Можно получить и функции с разрезами, приближая разрезы сгущающейся последовательностью нулей и полюсов. Таким образом, L-оператор (4.1) порождает матрицу монодромии Т(Х) общего вида. Это окончательно проясняет аналогию между теорией представления групп и КМОЗ; L-оператор (4.1) действительно играет роль произвольного неприводимого представления.
Итак, L-оператор решеточной модели НШ является наиболее общим. В качестве частного случая он должен содержать L-оператор XXX магнетика Гейзенберга (V.5.11), а также его обобщения с высшим спином. Это естественно, ведь в случае классических непрерывных моделей магнетик Гейзенберга и уравнение НШ калибровочно эквивалентны (см. [7.18]). Проведем явные преобразования с целью показать, как это происходит. Возьмем L-оператор (1.1); выберем
Этот L-оператор также сплетается Д-матрицей XXX модели (дело в том, что Д-матрица XXX модели коммутирует с марицей ctz®ctz). Назовем этот L-оператор L-оператором обобщенной XXX модели. В формуле (4.6) ctz — это матрица Паули, a t—квантовые операторы
со спином t2 = 5(5+1), s= — 2/(сД)—известное представление Гольдштейна— Примакова [7.24]. Вообще говоря, это представление яв-
(4.5)
Преобразуем этот L-оператор к виду
?? (п\Х)= — — ctzL(m| А) = г'А.+с ? CT,rjn).
Д 1 = V II т
l = x,y,z
(4.6)
г(1п)=—1>„+ p„+p„v|/„],
^Л)=-^[Рntyn-tyn Рп],

(4.7)
Эти операторы порождают представление алгебры su (2): tk~\ it'iklh
(4.8)
§ 5. КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ СИНУС-ГОРДОН НА РЕШЕТКЕ
135
ляется бесконечномерным, но при специальных значениях j оно становится конечномерным. Именно, при s целом или полуцелом воспроизводятся XXX модели с высшим спином, построенные в работе
[7.11]. При 5=1/2 оператор (4.6) превращается в L-оператор XXX модели (У.5.11).
§ 5. Квантовая модель синус-Гордон на решетке
Квантовая модель синус-Гордон на решетке позволяет наиболее строгим образом решить проблему ультрафиолетовой регуляризации. L-оператор этой модели по-прежнему задается формулой (2.1):
При этом мы считаем, что 0 <s <1/2. Однако теперь р„ и и„ — квантовые операторы [ип, рт ] = id„m. Этот L-оператор сплетается Л-матрицей XXZ модели точно (Л-матрица та же, что в непрерывном случае). Свойства симметрии этого L-оператора также аналогичны непрерывному случаю (V.4.6):
Здесь звездочка означает эрмитово сопряжение квантовых операторов. Квантовый детерминант равен
Отметим, что квантовый детерминант равен классическому (2.3) (ср. также с квантовым непрерывным случаем (VI.8.23)). Непрерывный предел квантового L-оператора правильный, он сводится к (V.4.2). Основываясь на этом L-операторе, можно построить различные гамильтонианы решеточной модели синус-Гордон [7.17; 7.26] с правильным непрерывным (А->0) квазиклассическим пределом.
Построенная модель решается с помощью алгебраического анзатца Бете. Для того чтобы построить псевдовакуум, рассмотрим матрицу монодромии на два узла Ь2 (п | X) = L (2и | X) L (2п — 11X). Псевдовакуум для L2 имеет вид
(Отметим, что наряду с псевдовакуумом |0>„ оператор Ь2 обладает и другим псевдовакуумом [7.9].) При рациональном значении отношения у/я вакуум можно сделать нормируемым (см. Приложение
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed