Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
In [т(Х)т0 1 (X)]
+
+
8;
Х= v
8
ЗсА*8Х 1п IX^0'1 №=v* + ^I Q-
Здесь Q — оператор числа частиц:
е = Д X 'IC'IV
(1.15)
(1.16)
Он коммутирует с т (X). Величина т0 (X) имеет смысл значения т (X) при нулевых полях:
ад\
+(!+—)
ад V
(1.17)
Отметим, что в качестве гамильтониана можно было взять In т (X) или какую-то другую комбинацию логарифмических производных т(Х) в точках v, v*. Требование правильного непрерывного предела является слабым ограничением.
Прямое вычисление приводит к следующему выражению для решеточного гамильтониана (1.15):
Я=
(а*(я +1) <т2а(я— 1)) (а*(я+ 1) а (я)) (а* (я) а (я — 1))
(а(я+1)а2а*(я-1))
+
+¦
а (п + 1)а*(я)) (а (я) а* (я — 1))
+ 1 — сД2\|/„+ \|/„
(1.18)
Этот гамильтониан является вещественным и пространственно четным. Структура переменных действие-угол для дискретных уравнений та же, что и в непрерывном случае § IV. 1. Переход к непрерывной модели НШ при А-*-0 происходит гладко. Элементарные выкладки показывают, что непрерывный предел этого гамильтониана правиль-
§ 2 КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИНУС-ГОРДОН НА РЕШЕТКЕ
127
ный. В этом пределе гамильтониан переходит в (IV. 1.11), а заряд—в (IV. 1.13).
Явный вид уравнений движения легко получить, имея гамильтониан и скобки Пуассона. Они будут локальными и нелинейными (нелинейность носит рациональный характер). Это вполне интегрируемые уравнения, которые можно решить с помощью метода обратной задачи. Они представимы в лаксовом виде. Действительно, г-матрица и тождества следов предъявлены выше, а оператор эволюции во времени U(n | А.) строится с помощью производящего функционала (IV.2.20) и является локальным.
§ 2. Классическая модель синус-Гордон на решетке
Рассмотрим теперь модель СГ. С каждым узлом решетки связаны переменные р„ и и„ со скобками Пуассона {рп, ит} = S„m. Предъявим следующий L-оператор:
е-'^аряе-'Vp"ts — sh (X-iрип/2)'
„д 2 • (2-1)
т А
—— sh(X, + iP«»/2)
Здесь р„ = л/1 + 2s cos р и„, s = ( ¦
Шаг решетки ограничен:
0<^<1/2. В непрерывном пределе (рп-^Ап{хп), ип-^и(хп)) этот L-оператор превращается в инфинитезимальный оператор (IV.3.5). L-оператор (2.1) сплетается r-матрицей (IV.3.7) точно. Свойства матрицы монодромии Т(Х) такие же, как и в непрерывном случае (IV.3.9), (IV.3.10). Мы рассматриваем четное число узлов; при зтом
ауТ*(\*)Су=Т(\), (2.2)
det Т(X.) = detM L (X.), det L(X)= 1 + 2s ch 2X. (2.3)
Гамильтониан и импульс модели определим с помощью тождеств следов:
1 (*¦)]
е2Х = —Ь
(2.4)
е-2к= -Ь~ 1
Здесь т0 (А.) — след Г (А.) при р„ = и„ = 0. Инволюция (2.2) обеспечивает вещественность Н и Р,
й = 2^(1+ч/1-4^2)'1. (2.5)
Функция т(Х.) — мероморфная функция е2\ При ехр(21)= —Ь±х определитель Т{к) (2.3) обращается в нуль, что гарантирует локальность
128
ГД У». ШТЕГРИРУЕМЫК МвДКЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
Я и Р. В непрерывном пред*» ?-+0, s->0) формулы (2.4)
превращаются в тождества следов (IV. 3^). Построенный гамильтониан описывает взаимодействие трех, ближайших соседей. Явный вид Я и Р удобно записать в переменных
X"=J~b
1хЛ=1.
Гамильтониан и импульс имеют вид
(xk+i-b%k±1)(xk -b%i) (i-6)
НТР у
476(1-^)^
_ (1 +%к±1%к ) (1 + Xk+lXk )
(2.6)
(2.7)
Отметим, что фазовое пространство построенной модели является прямым произведением торов. Гамильтониан и импульс — периодические функции каждого из р„ и и„ с периодами 2 л/р и 4л/р соответственно; она имеют правильный непрерывный предел. Определим заряд Q следующим образом:
q Ml 2
Q = ~ Ё (U2k~ M2*-l)- (2-8)
п к= 1
Легко вычислить скобки Пуассона Q и Г (А):
{Q, Г(а.)}=Л[а„ Г(А)]. (2.9)
Отсюда видно, что Q является законом сохранения {Q, 7’(А)} = = {Q, Я}= 0. При Д->0 заряд имеет правильный непрерывный предел (IV.3.3). Структура переменных действие-угол в решеточном и не-нрерывном случаях одинакова [7.15].
§ 3. Квантовая модель на решетке, связанная с нелинейным уравнением Шредингера
Квантовая модель НШ на решетке задается тем же L-оператором
(1.1), однако теперь i|/„, »|/„* являются квантовыми операторами с перестановочными соотношениями [\|/и, \)/т ] = §ПШ/А- Билинейное соотношение (V.1.6) с Д-матрицей XXX модели (V.3.17), (V.3.18) выполнено для этого L-оператора точно. Вид функций р± пв-прежнему содержит произвол. В настоящем параграфе мы зафиксируем р = р 1 = р с помощью соотношения (1.3). Решеточный L-оператор модели НШ обладает теми же симметриями, что и в непрерывной модели:
axL* (A*)ctx = L (X).
(3.1)
§ 3. КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ НШ НА РЕШЕТКЕ
129
Напомним, что звездочка означает эрмитово сопряжение матричных элементов как квантовых операторов (без матричного транспонирования и комплексное сопряжение г-чисел),
det, L (/- ) =
X-v~
IC
Af V + ~
Определим оператор числа частиц:
v =
2i
А
(3.2)
Q= ? Av(/„+ vj/n.
И — 1
(3.3)
Этот оператор имеет правильный непрерывный предел.
Приступим теперь к построению гамильтониана. Параметры L-оператора (1.1) могут изменяться от узла к узлу. Рассмотрим пепочку, в которой L-операторы в четных и нечетных узлах различаются:
L(n\X)~-
I . сА ik А с А2 г~
. с А гЛА с А~
]-*-(— 1)” — -----------+ — ф, ф„
