Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
j = 3 j=3
+ В(ц)В2(Х1) Z А\" П В(Х;)\0} +
1 = 3 j = 3
}фп
+ А™В(1х)В(Х1) П в(^)|0> + Л<3>5(ц)5'(Х1) П 5(^)|0>, (4.5)
J=3 J=3
5(ц)й2М П в(МЮ>=Лй2(Х1) П в(Х;)\оу+
J=3 j — з
+B(ix)B2(k1) X А'1» П ^(^)Ю>+
1 = 3 j=з
+ А«2>5(ц)й(Х1) П 5(XJ)|0> + A«3>fi(n)fi'(X1) П 5(^)|0>. (4.6)
J=3 J=3
108
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Здесь коэффициенты А, А равны:
А = а(ц)/2(ц, К) П/(ц, У, А = ф)/2(Х1, ц) П/(^, ц), (4.7)
У=3 у=з
N
A«1»=-a(^)g(n, Х^/ЦХ,, П/(^ U
J = 3 j*l
A'/W^,)^ М/2(^> М ПЛ^ U
(4.8)
(4-9)
J = 3
у#(
A«2»=-fl(^)g(n, ^)[1+/(ц. X,)] U ПК, h)~
j=з
-zcg(n, П/(^1. ^)1. (41°)
j-з
A«2»=j(^)g(n, ^)[1+/(^, ц)] п пч к)-
У=з
-icg(ii, Я.1)(5/5Я.1)Г</(Л.1) П f(K к)
j= i
(4.11)
А«3» = ,ш(Х1)?(ц, X,) П f(Xlt Xj), W^icdiXjgiii, X,) П f(Xp X,).
у=з у=з
(4.12)
Учитывая, что в правой части формул (4.5), (4.6) все векторы являются линейно независимыми, получаем, что I'J'jv) является собственным вектором,
т(ц)|Ч'„> = (А + А)|Ч'„>, (4.13)
при условии, что выполняется система уравнений
Л^ + А'/^О, Л<2) + А<2) = 0, А<3)+А<3) = 0. (4.14)
Эта система совпадает с уравнениями (4.2)— (4.4). Итак, мы доказали, что уравнения Бете для 14^) имеют вид (4.2) — (4.4).
Докажем теперь, что эти уравнения не имеют решения в модели нш. В этой модели уравнения (4.2), (4.3) имеют следующий вид:
(4.15)
и обладают только вещественными решениями Xj. Это показывается
§ 5 ОПЕРАТОР СДВИГА
109
с помощью рассуждений, аналогичных использованным в § 1.2. Выпишем теперь уравнение (4.4):
Для вещественных А,- оно не имеет решений. Это завершает доказательство теоремы.
Мы доказали, что не могут совпадать два импульса. Случай, когда совпадают несколько импульсов, рассматривается аналогично [6.5; 6.21]. Таким образом, мы видим, что в наборе {X,} в (1.10) нет совпадающих, если |'PiV) является собственной функцией. Эта теорема играет важную роль. Как показано в гл. I, состояние с наименьшей энергией гамильтониана модели НШ строится как море Дирака. Принцип Паули обеспечивает стабильность моря Дирака. Можно показать, что неразрешимость уравнений (4.17) связана с выпуклостью действия Янга, которое обсуждалось в 1л. I. Это приводит нас к гипотезе о том, что во всех интегрируемых моделях, где выпукло действие Янга, выполняется принцип Паули. Если действие Янга не выпукло, то принцип Паули может не выполняться.
§ 5. Оператор сдвига
Рассмотрим матрицу монодромии, состоящую из двух «коммутирующих» сомножителей (1.7):
и обладает вакуумом |0) = |0)1®|0)2. При этом вакуумные собственные значения матриц Г и Г совпадают (1.8): а (а) = а (X) — и1 (А) а2 (л), d(X) = d (л) = dt (X) d2 (Я). Рассмотрим волновые функции
v
(4/c)+L+Z {2С/[СЧ(Я1-Я,)2]} = 0.
(4-17)
(5.1)
Каждый сомножитель (7=1,2) имеет вид
Определим оператор сдвига О следующим образом:
ОТ(Ц ф'1 = Т(\)= Т(11 А.) Г(21 А.) = ,
(5.4)
Отметим, что Т(к) (так же, как и Т(к)) сплетается Л-матрицей (1.3)
N
|^>=п я(да>,
(5-5)
(5.6)
j = i
Здесь суммирование ведется по разбиению множества {Aj} на два непересекающихся подмножества {X1} и {А,11}:
110 Г Л VI АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Теорема 1. Волновые функции (5.5) и (5.6) пропорциональны тогда и только тогда, когда выполнены уравнения Бете:
“Ы ГГ 1 (и==1 ДГ) (5 7)
J/n
Доказательство. Выразим волновую функцию (5.5) через волновые функции П^1 (^м) 10> t и П^г(Л) К-*) 2 в отдельных узлах
(5.2). Из (5.1), (5.2) имеем для оператора i?(A)
В(\) = А2 (А,) В1 {X) + D1 (А) В2 (А). (5.8)
С помощью стандартных рассуждений алгебраического анзатца Бете (см. § 1) получаем
П #(А,)|0> = I
J'1 {X} = {XI}U{VI}yeI*eII
x/(Aj, А”) (В2 (А”) 10>2) (В, (AJ) 10)0- (5.9)
гея по разби жества {А1}
{А1} Л {Ап} = 0, {AI}U{An>{A},
(5.10)
card{AI}=«1, card {А11} = и2.
Каждое слагаемое в (5.9) представляет собой двойное произведение, индекс j пробегает 1-й набор, а индекс к—независимо пробегает 2-й. Волновая функция (5.6) выражается аналогичным образом:
П %л)|о= I niWfWM)*
х/(А?, Aj)(fi1(Al)|0>1)(fi2(AlI)|0>2. (5.11)
Отметим, что все слагаемые в правой части (5.9) линейно независимы. Непосредственные вычисления показывают, что правые части (5.9) и (5.11) пропорциональны тогда и только тогда, когда выполнена система (5.7). При этом
tf|4,N>=lvi>N>=v|4'N>,
(5Л2)
v= п ЫК)1МК))= п ЫК)1Ь(К))-
j=l J=1
Здесь v—собственное значение оператора сдвига. Теорема доказана.
N
Отметим, что сопряженные волновые функции <0| ]^[ также
j = i
пропорциональны тогда и только тогда, когда выполнена система
§ 5 ОПЕРАТОР СДВИГА
111
(5.7). Доказательство основывается на представлении
лт
{bbMUM J€
При этом
N
N
N
<1 П с(^)=<0| П С^-^у-ЧО! П с(^)-
(5.14)
J-1
Таким образом, если волновая функция (5.5) является собственной функцией оператора трансляции, то она обязательно является собственной функцией трансферматрицы.
Теорему 1 можно применить для вычисления собственных значений оператора импульса. Рассмотрим, например, модель НШ. Матрицу монодромии Т{}.) разобьем на два «коммутирующих» сомножителя следующим образом. Матрица T'fl | Я.)—это матрица монодромии на отрезке [0, х ], ее вакуумные собственные значения равны
