Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
[?/.„(»I*, v)]{J>} = * ^ {5аР[Я(ц, v)]fo*-‘-
-[*'>, A.)]-*—}|M=V. (5.7)
Как квантовый оператор он нетривиально действует в двух соседних узлах.
В качестве примера рассмотрим Л-матрицу XXX модели (3.17),
(2.3). Ниже нам будет удобнее перейти к R (1.9):
— ic
Л12(А, ц) = ?’12 — - П12. (5-8)
К — |Х
Здесь индексы 1, 2 означают номера векторных пространств. Эту Л-матрицу можно записать в виде
1
X К® а?). (5.9У
2(X-n)J 2(X-jt)
Мы пользовались тождеством
2П12 = /х/2 + ст* а* + Сту Сту + ai ст2, (5.Ю)
где ст — это матрицы Паули, у которых верхний индекс обозначает номер пространства, в котором они действуют, нижний индекс — это номер матрицы Паули. Соответствующий L-оператор (5.1) можно записать так:
/ .. ч . ic ( ст" 2а"- \ ,, ...
^"1Ч->--у(2Л } (5.11)
Здесь 2ст± =стх + гсту. По-другому его можно записать в виде
L(«|A) = X— у ctz ст" —гс(ст_ ст+ + ст+ ct'L ). (5.12)
Этот L-оператор получается следующим образом. Следует умножить Л-матрицу (5.8) на (А — ц), воспользоваться формулой (5.1) и выбрать v = — ic/2. Матрица монодромии, порожденная этим L-оператором, имеет следующее свойство:
Г(Г) = ауТ(Х)ау, (5.13)
где * означает эрмитово сопряжение квантовых операторов (без матричного транспонирования) и комплексное сопряжение с-чисел. Матрицы ст* играют роль локальных квантовых операторов и описывают спин в А>м узле решетки. В данном случае тождества следов имеют вид
Н= ±2 ic — 1пт(ц) d\i '
±2M—2hSz. (5.14)
ц= — ic 12
§ 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПИНОВЫЕ МОДЕЛИ
91
Таким образом, получается гамильтониан изотропного XXX магнетика Гейзенберга, рассмотренного в гл. II: м
#=+I (ct?ct?+1 + ctX+1 + ct‘ct*+1-1)-2ASz. (5.15)
к= 1
В этих формулах верхние знаки соответствуют ферромагнитному, а нижние — антиферромагнитному случаю; Sz— оператор третьей компоненты полного спина,
1 м
sz=- I <т;, (5.16)
L п= 1
который коммутирует с гамильтонианом и с трансферматрицей:
[Я, 5г] = [т(Х),52] = 0. (5.17)
Гамильтониан (5.14), (5.15) не зависит от константы с, входящей в Л-матрицу (3.18) и L-оператор (5.11). Можно было бы с самого начала положить с= 1 (это соответствует растяжению спектрального параметра Х\->Х/с).
Рассмотрим теперь анизотропный XXZ магнетик. Его гамильтониан (см. гл. II) м
Я=- X [(Укак+1 + ак(Ук + 1+А(акак+1-1) + hak] (5.18)
к= 1
порождается матрицей монодромии фундаментальной спиновой модели, которая строится по Л-матрице (4.3) XXZ модели. Тождества следов имеют вид
// = 2/sin2ri — 1пт(ц)
оц '
+ 2Mcos2ri-2A5z. (5.19)
М= 2 “>Ч
Здесь введена «константа связи» г|, связанная с величиной у в Л-матрице (4.3), (4.4) следующим образом:
У— —2ц, (5.20)
при этом параметр анизотропии Д = cos2r|. Оператор Sz (5.16) по-прежнему коммутирует (5.17) с гамильтонианом и трансферматрицей. L-оператор стандартным образом строится из Л-матрицы и имеет вид
4»|X)—T-f"2" Д (5.21)
“ ' ycT+sinlii сЬ(Х + г Цо") /
Построенная из него матрица монодромии удовлетворяет инволюции
<т,Г(Я.)<т,= Г*(Х,* + /я). (5.22)
Изотропный XXX магнетик можно рассматривать как предельный случай XXZ магнетика. Остановимся на этом подробнее. В ферромагнитном случае гамильтониан (5.15), L-оператор (5.11) и
92
ГЛ. V ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Л-матрица (3.17), (3.18) (с с= 1) получаются из соответствующих величин в XXZ случае (5.18), (5.21), (4.3), (4.4) после предельного перехода
2r| = x->0, Xxxz= (in/2) + xXxxx ххх—конечно). (5.23)
При этом тождества следов (5.19) воспроизводят формулу (5.14), а инволюция (5.22) приводит к (5.13).
Изотропный антиферромагнетик можно рассматривать аналогично, взяв в качестве исходного гамильтониан Н (5.18), (5.19) с измененным знаком. Удобнее, однако, поступить по-другому, отправляясь непосредственно от гамильтониана (5.18) и используя предельную процедуру (II.4.1), положив
2г| = тг —х, Хххг = кХххх, и-*0 (1-ххх— конечно). (5.24)
При этом получаем гамильтониан м
Я=-Х Иа*х+1+аХ+1-ДИа* + 1-1) + Л^], (5-25)
jt= 1
который, как это обсуждалось в §11.1, для четного числа узлов унитарно эквивалентен гамильтониану (5.15) с нижним знаком;
М/2
соответствующий оператор преобразования есть U— alm. Coot-
m= 1
ветствующая Л-матрица получается из (4.3), причем функции f и g превращаются в /(ц, Х)= — 1 + г'(и — А)-1, #(ц, А) = /(ц — А)-1 и Я-матрица не совпадает с Л-матрицей XXX модели (3.17), (3.18) при с= 1. Тождества следов (5.19) в пределе (5.24) дают гамильтониан Н (5.25).
В заключение сделаем следующее замечание: у L-оператора (5.11) можно сдвинуть спектральный параметр на величину vn, которая может зависеть от номера узла, т. е. перейти к оператору L(№|-A — v„), и он по-прежнему будет удовлетворять билинейному соотношению (5.2). Видимо, впервые это замечание было сделано в работе [5.12]. Соответствующая- матрица монодромии ймеет вид
r(A) = L(M|A-vM)...L(l|A-v1). (5.26)
§ 6. Фундаментальные модели классической статистической физики
Л-матрица, удовлетворяющая соотношению Янга — Бакстера, порождает точно решаемую модель- классической статистической физики на двумерной решетке. Статсумма этой модели также может быть вычислена с помощью КМОЗ-. Рассмотрим прямоугольную решетку размерности NxM (см. рис. 1). ГГроиушруем вертикальные линии латинским индексом fc=l, ..., М, я горизонтальные—греческим индексом а=1, ..., N. Локальная спиновая Переменная, принимающая К значений, связана с каждым ребром решетки. Спиновые переменные будем обозначать буквами а йли b (я, b— 1, ..., К) с индексом, означающим номер линии, на которой они находятся: ак, Ьк или а„, Ьа.
