Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
(второй псевдовакуум аннулируется оператором В (1): С(Х) |0) = 0. В(Х.) |0') = 0). Мы выберем первый из них. Вакуумные собственные значения равны
Собственные функции и собственные значения строятся так же, как и для модели НШ, что и позволяет решить модель. Следствием инволюции (5.13) является
Без ограничения общности можно положить в этих формулах с = 1 (для этого достаточно сделать растяжение спектрального параметра Х->сХ).
N
(3.7)
Л
(3.8)
10> и | O'):
N
i°>= П (t)j>
(3.9)
N
i°')= П (i)j
(3.10)
a (A) = (X - {ic / 2))M, d(X) = (X + (ic/2))M.
(3.11)
а*(Г)=d(X), В + (Г)= - C(4
(3.12)
Система уравнений Бете имеет вид
(3.13)
§ 3. ПРИМЕРЫ
105
3) Рассмотрим теперь неоднородное обобщение матрицы монодромии XXX модели (V.5.26). Это тоже 2x2 матрица вида (1.1). Вакуум в модели по-прежнему задается формулой
(3.9) (вектор (3.10) также подходит под определение вакуума). Вакуумные собственные значения имеют вид:
м м
а(Ь) = П (*-Vy-(zc/2)), d(\)= П (^-v, + (/c/2)). (3.14)
j=i j= i
В этой модели роль оператора числа частиц играет третья компонента полного спина Sz:
1 м
S=- X а|. (3.15)
1 fc= 1
Псевдовакуумы (3.9), (3.10) являются собственными функциями Sz:
$z |0> = (Af/2) |0>, 5"210')= — (М/2) | O'). (3.16)
Любая волновая функция при любых kj является собственной функцией Sz:
Sz П B(Xj) \0> = ((M/2)-N) П B(Xj) |0>. (3.17)
У= 1 j= l
Наибольшее и наименьшее собственные значения Sz равны +М/2 и —М/2. Рассмотрим специальный случай M=N; при этом
п fi(bj)|0> = Zw|0'> (N—M). (3.18)
j=i
Здесь ZN — числовой коэффициент:
Zw = <0'| П 5(^)10>- (3.19)
j= 1
Легко видеть, что величина ZN совпадает со статистической суммой, введенной в § V.6, для этого достаточно сравнить представления (V.6.12), (3.19).
4) XXZ модель Гейзенберга (V.5.18), (V.5.21). Для этой модели все построения аналогичны XXX случаю. Структура анзатца Бете для /?-матриц (1.3), (1.4), (1.5) одинакова. Все формулы §§ 1, 2 выполняются и в случае Л-матрицы XXZ модели. Для XXZ модели вакуумные собственные значения равны:
а(Х.) = ( — i)MchM(k — г г}), d(X,) = ( — г)м ch (X, + г 14}. (3.20)
Вектор (3.9) выбран в качестве псевдовакуума.
Уравнения Бете имеют вид
106
ГЛ. VI АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Тождества следов (V.5.19) позволяют вычислить энергию и импульс одной частицы:
Система уравнений Бете, энергия е0 и импульс р0 сводятся к соответствующим выражениям (II. 1.17), (II. 1.26) и (II. 1.13), полученным в рамках координатного анзатца Бете. Таким образом, с помощью КМОЗ воспроизводятся все результаты гл. II.
5) Модель синус-Гордон. Чтобы построить псевдовакуум, в данном случае удобно рассмотреть произведение двух операторов L(п | X) (V.4.2) в соседних узлах:
Для этого L-оператора вакуум был построен в работе [6.12]:
Вакуум для всей Т(X) строится как произведение векторов |0>„:
Отметим, что в случае, когда константа связи у /тс есть рациональное число, удается построить нормируемый псевдовакуум, а квантовые операторы ехр {г ср„} и ехр {г пп} реализовать как матрицы конечного размера (см. Приложение 1). Вакуумные собственные значения матрицы монодромии равны:
Собственные функции строятся по формуле (1.6). Собственные значения энергии равны
§ 4. Принцип Паули для одномерных взаимодействующих
Отличительной чертой одномерных квантовых систем является то, что принцип Паули выполняется не только для фермионов, но и для взаимодействующих бозонов (они не могут обладать одинаковыми импульсами). В качестве примера рассмотрим модель НШ. Собственные функции следа матрицы монодромии (1.1) строятся
80 (X.) = — 2 sin2 2г) [ch(X, + iц) ch(к — ir|)] 1 + 2h, р0 (k) = i In [ch (X — г -q) /ch (X + г л)].
(3.22)
L(2){n\X) = L{2n\X) L{2n-\\X).
(3.23)
|0>„ = §(к2„- i — и2„ + (|3/4) —(2tc/(3)).
(3.24)
|0>=<g>7/2|0>„.
a (X.) = exp {Ms ch (2X — i y)},
d(k) = exp {Ms ch (2X + i y)}, s=(wA/4)2.
(3.25)
Уравнения Бете имеют вид
п=\, ..., N. (3.26)
8q(X,) = (w2A/2) siny ch2X,.
(3.27)
бозонов
§ 4 ПРИНЦИП ПАУЛИ
107
в виде (1.10), причем импульсы X, удовлетворяют системе уравнений Бете (1.31). При их выводе существенно использовать предположение, что все Xj различны.
Предположим теперь, что это не так. Рассмотрим простейший пример: пусть импульс Xj встречается два раза (к1 =Х2), а остальные (N—2) импульсов (7 = 3, N) различны. Соответствующую волновую функцию можно представить в виде
|4V>=i?2(^) падю). (4.1)
J = 3
Теорема 1. Не существует собственных функций оператора т(ц) вида (4.1).
Доказательство. Потребуем, чтобы I'J'jv) (4.1) была собственной функцией трансферматрицы т(\\) = А (ц)+/)(ц) Это накладывает ограничения на импульсы Ху Докажем сначала, что уравнения Бете для этой волновой функции имеют вид:
а(х„)Г/(х„, xt)T */(х„,х,)_
X„)J /Д/(V К)
1 (п = 3, ..., N), (4.2)
)фп
a(xi) rT/(xi’^)_! (4 3)
d . d , а(ХЛ . " d , /(Х1; X.) 4 п /л
(4-4)
С этой целью вычислим, как операторы А(ц.) и D (ц) действуют на волновую функцию. Переходя к пределу в формулах (1.25) —
(1.28), получим
А{»)В*{Х О П 5(XJ)|0> = AJB2(X1) П В(Х,) |0> +
