Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. КВАНТОВЫЙ ДЕТЕРМИНАНТ
117
(ЙГ(Х, |л) = 15 La(/"(>-, ц)//(|л, Х))/дХ); то же относится и к правой части одевающего уравнения (1.4.29) для фазы. Таким образом, одетая матрица рассеяния тоже определяется только /^-матрицей. Более точно, рассмотрим две модели с одинаковой Л-матрицей и различными функциями а(Х) и d(X). Если значения спектрального параметра на границе Ферми в этих моделях совпадают, то одетые матрицы рассеяния тоже совпадают. Речь идет о матрицах рассеяния, вычисленных как функция спектрального параметра X. Если вычислить 5-матрицы как функции одетых импульсов частиц, то они, конечно, будут различаться.
§ 8. Квантовый детерминант
В настоящем параграфе мы введем понятие детерминанта матрицы монодромии в квантовом случае. Рассмотрим матрицу монодромии Т(Х) (1.1), сплетающуюся /^-матрицей XXX модели (1.3), (1.4) и обладающую вакуумом (1.6). Отметим, что при X = \\ + ic коммутационные соотношения (1.11)—(1-24) матричных элементов матриц Т(Х) и Г(ц) существенно упрощаются. Действительно, /(ц, ?.) = (), g(n, 7.)= — 1. При этом ^-матрица R(X, ц) пропорциональна одномерному проектору:
R(X, ц) = П —I. (8.1)
Примеры этих коммутационных соотношений, важные для дальнейшего, имеют вид:
С(ц) Z) (ц + г'с) = D (ц) С (ц + ic), A(\i) Я(ц-И'с) = .й(ц)Л(ц-И'с). (8.2)
Определим детерминант матрицы монодромии в квантовом случае так:
= (8.3)
Используя коммутационные соотношения Г(Х) и Г(Х-и'с), его можно переписать также в виде
= + (8.4)
Квантовый детерминант dete Т(Х) коммутирует с любым из операторов Л(ц), Я(ц), С(ц) или ?>(ц):
[dete Т(Х), Г(ц)] = 0. (8.5)
Формула (7.1) показывает, что квантовый детерминант является комплекснозначной функцией, а не квантовым оператором:
detfr(X) = e^X-j^X+0. (8.6)
118
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Коммутационные соотношения (8.2)—(8.5) можно записать в матричном виде
или, по-другому,
ic
r-1(A)=aJ,rT(A + /c)aJ
det„ Т[ А+ 2
(8.8)
Эта формула обобщает известное классическое соотношение. С ее помощью легко доказать, что если Т{к) является произведением «коммутирующих» сомножителей Г(А)=Г2(А)Г1(А) (1.7), то квантовые детерминанты так же перемножаются:
det„ r(A) = det„ Т, (A.)dete Т2 (I). (8.9)
В свою очередь это означает, что детерминант матрицы монодромии равен произведению детерминантов /.-операторов: м
deter(A)= П deteL(/'|A). (8.10)
j= i
Квантовый детерминант можно определить также и для /^-матрицы XXZ модели:
dete Г(А) = л((А — г'г]).0(А-И'г]) — В (к — г г}) С (А + г Л) =
= а(А-гг1)^(А + гл). (8.11)
Он обладает всеми упомянутыми выше свойствами. Приведем значе-
ние dete Т('к) для рассмотренных моделей.
Для модели НШ
dete Г(А) = ехр{ —cL/2}. (8.12)
Для XXX магнетика (см. (3.11))
detei(A) = (c2+A2), dete Т(Х) = (с2 + Х2)м. (8.13)
Для XXZ магнетика
det, L.(\)= — ch (X + 2ir\) ch (X ~ 2/r|), det, T(\) = \dztq L (X)] м.
(8.14)
Для модели синус-Гордон
dete r(A) = exp{(2Mj)ch2A} (s=(mA/4)2). (8.15)
§ 9. Рекуррентные свойства статсуммы ZN
В § Y.6 была введена статсумма ZN (V.6.6), которая будет играть важную роль при описании скалярных произведений. Она является функцией 2N переменных {X,}, {vj}.
§ 9. РЕКУРРЕНТНЫЕ СВОЙСТВА СТАТСУММЫ Z,
119
Лемма 1. Статсумма ZN ({Хя}, {vj}) является симметричной функцией всех {А.„} и {v;} по отдельности. Величина ZN является полиномом (N— 1)-й степени каждой из переменных или Vj при всех остальных переменных фиксированных:
Для доказательства используем представление (V.6.12). В нем В(ка)—элемент матрицы монодромии (V.6.7). Так как [В(А.), 5(ц)]=0 (см. (1.11)), то Zjv является симметричной функцией всех Из формул (V.6.4) и (V.6.7) видно, что
а значит, dNB(k)jdXN = 0. Следовательно, В(Х) есть полином степени (N—l) по каждому из Я,„. Из представления (V.6.12) ясно, что Zjv является полиномом степени (^V— 1) по каждому из X*. Для того чтобы доказать аналогичные свойства по vj, надо воспользоваться представлением (V.6.15). Это завершает доказательство леммы 1.
Для дальнейшего исследования статсуммы ZN приведем список свойств L-оператора (V.6.4):
Здесь — матрица перестановки пространств а и к. Как следует из ее определения,
Здесь v, w—векторы в пространствах а или к (согласно индексу). (2) L-оператор имеет два простых собственных вектора
dNZN/SX^ = 0; dNZN/dvf = 0.
(9.1)
(9.2)
(1)
(9.3)
П akvkwa = wkva.
(9.4)
(9.5)
(9.6)
(3) [!«(*..-v*), a»>aW] = 0.
(9.7)
Введем оператор
N
N
w= п <**’ п ’¦
Он обладает следующими свойствами:
N N
W2=\, [W, П П (А-а — Vfc)] = 0.
(9.8)
a=lк=1
Это следствие свойства (3) L-оператора.
120
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Лемма 2. Величину ZN можно представить в виде
Z*({U, {vj}) = <0| падко. (9.9)
j=i
Доказательство. Исходя из представления (V.6.5), имеем z„ = { П (t).} in a):j»'jn Д V.)} X
х И'! П (i).} [п (t),}- {П («.} [п (т),] х
- N N Ч jy Ч jy Ч
х {ДД L«‘(^-v*)}{п (т)«}|п a),j- (9-ю)
Повторяя рассуждения § V.6, (V.6.11)—(V.6.12), получаем формулу
(9.9). Лемма доказана.
Лемма 3. Величина ZN удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению:
