Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6 МОДЕЛИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
93
12 3 М
1 -г -з-
N ¦
Рис.
ь„
Рис. 2
Статистический вес Lak связан с каждой вершиной, нумеруем его двумя индексами, означающими номера линий, пересекающихся в данной вершине. Величина статвеса зависит от значений спинов на ребрах, прилегающих к вершине,
(6.1)
где Ха, vk — произвольные комплексные числа (см. рис. 2). Отождествим статвес со спиновым L-оператором (5.1):
= V*). (6.2)
Здесь а и к означают номера пространств, в которых R действует нетривиально. Статистическая сумма модели определяется так:
2= I п (?.*)??;
спинам вершинам
(6.3)
произведение ведется по всем вершинам решетки, а суммирование ведется по всем спинам независимо. Разумеется, при конечном размере решетки статсумма зависит от значений спинов на границе решетки. Обычно рассматривают периодические граничные условия. Нас будет интересовать и другой тип граничных условий. Перейдем к примерам.
/i-матрица (4.3), (4.4) порождает известную модель льда. Модель, порождаемая /?-матрицей (3.17), (3.18), является ее частным случаем. Сейчас уже решено много аналогичных моделей, на которых мы не останавливаемся подробно. Отметим только, что модель, порождаемая /^-матрицей (4.8), обсуждалась в последнее время в литературе. Оказалось, что предложенная Р. Бакстером [5.29] модель на сотовой решетке является одним из частных случаев этой модели.
В конце параграфа построим специальную статсумму, которая будет играть важную роль при вычислении корреляционных функций. Статистический вес этой модели зададим с помощью L-оператора XXX модели (5.9), (5.11), (5.12):
^(^-У)к) = ^-Ук-(гс/2)ст“ст*-гс(ст“_ ст*++ст“+ ст*_). (6.4)
94
ГЛ. V. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
V, vz ... vK ... VN
Lock
Рис. 3
Здесь а, к—номера пространств. В данном случае каждая спиновая переменная приобретает всего два значения +1. По традиции будем обозначать эти значения стрелками | (+1) или j (— 1). Рассмотрим квадратную N х N решетку. Каждой горизонтальной линии сопоставим свой спектральный параметр каждой вертикальной линии сопоставим свой спектральный параметр vk (см. рис. 3): Вершине,
расположенной на пересечении этих линий, сопоставим статвес Lxk(Xx — vk) (6.4). Статсумму зададим стандартным образом (6.3), наложив специальные (непериодические) граничные условия. На верхней и на правой гранях все спины направлены вниз; будем их обозначать соответственно и J.a, а на нижней и на левой гранях все спины направлены вверх; их обозначим tit и Та (см- Рис- 4). Определенная таким образом статсумма ZN({Xx}, {vk}) зависит от 2N аргументов. Вскоре мы подробно исследуем эту зависимость. Статсумму ZN можно записать в виде
zN({Kb К})=
>Г\ >Г\
с n ] г n ~) f N N ~)С* ~)fN
={ П т. j { П j{ П Д 4ЛК-- V*)j j п i. j { П. tJ
Напомним, что L-оператор (6.2) является матрицей как в «вертикальном» пространстве (индексы ак, Ьк), так и в «горизонтальном» пространстве (индексы аа, Ьх), а суммирование в формуле (6.3) можно понимать как матричное умножение, стрелка сверху в (6.5) означает пространственно-упорядоченное произведение. Назовем такую статсумму статсуммой ZN на неоднородной решетке.
Произведение L-операторов в формуле (6.5) можно переупорядочить:
z»-{дДт-}{д ь}{Д1-}- <6-6>
Выразим статсумму с помощью матрицы монодромии (1.1):
(6.5)
(6.7)
§ 6. МОДЕЛИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
95
Здесь Тх(к) 2х2-матрица в пространстве номер а; в пространствах к (к= 1, N) Тл является квантовым оператором. Оператор Lak сплетается (5.2) Л-матрицей (5.8), (5.9) по каждому из пространств:
VJk)^pik(^p — v*) =
= ^pik(^p — Vk) Lak(K~ VJt) Дхр(^а> ^p)> (6-8)
Rkl(Vl’ Vk)Lak(K — Vk)Lxi(ka — vj) =
= L*i(K-vl)Lak(Xa-vk)Rk,(v„ vfe). (6.9)
Следовательно, Ta(k) (6.7) так же сплетается Л-матрицей (5.8):
Rxfi(X, ц)Т'(\)Т^) = Т^)Т'(к)Я^(к, ц). (6.10)
Здесь а, Р — номера векторных пространств. С помощью матрицы монодромии (6.7) статсумму можно записать в виде /л
(6.11)
Согласно (6.7), (Та) Га(^Ша) = Я(^), поэтому (6.11) можно переписать так:
г»={дъ}п*м{дь}. (6.12)
Запишем теперь ZN с помощью матрицы монодромии в «ортогональном» направлении. Для этого воспользуемся представлениями (6.6). Введем «вертикальную» матрицу монодромии ty.
0Ы = П A>j(^>-vy)=
ot= 1
Это матрица 2x2 в пространстве номер j (в этом пространстве она записана как явная матрица 2x2) — «квантовый» оператор в пространствах а=1, N. С помощью r(v) статсумму можно записать так:
={Д т“} {Д (ь) о к-)(ъ)} {п i« }• (6. и)
Используя соотношение (|.i)/i(v)('f,.) = C(v), упростим формулу записи для ZN:
Zn={ДТа} Дc(v^ {Д} ¦ (6-15)
Отметим, что матрица монодромии t(v) (6.13) тоже сплетается
A(Vj) 5(v,) C(v,) D(Vj)
(6.13)
96
ГЛ V ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Л-матрицей (5.8):
ДнК vk)tk{vk)tl{vl) = tl{vl)ik\vk)?kl(vl, vt). (6.16)
Это является следствием соотношения (6.9). Итак, для статсуммы ZN получено несколько различных представлений. Ниже это позволит нам исследовать ZN как функцию я v,. В части III эта статсумма будет играть важную роль при вычислении скалярных произведений, норм бетевских волновых функций и корреляторов.
