Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
R (X, ц) = R '1 (ц, X), R (X, X) = Е. (2.6)
Для таких /^-матриц квазиклассический предел особенно прост:
R^P(E-ihr)-, (2.7)
здесь г-классическая r-матрица. Заметим, что мы не всегда будем придерживаться нормировки (2.6). Проиллюстрируем теперь общую схему на примерах.
§ 3. Тождества следов
Обсудим тождества следов на примере квантового нелинейного уравнения Шредингера, описывающего одномерный бозе-газ. Эту модель будем кратко называть моделью НШ. Гамильтониан модели задается выражением (см. § 1.1)
//=J(dx'|/+SI\|/ + c\|/ + \|/ + \|n|f)dbc. (3.1)
Здесь \|/(х), \|f+(x)—эрмитово сопряженные квантовые операторы с перестановочными соотношениями
[>(4 'ИЯ1 = ['1'+(4 vl/+f>’)] = 0’ 0(4 'К(>’)] = §(-*->’)• (3-2)
Импульс Р и число частиц Q по-прежнему задаются формулами (IV. 1.13). Следует отметить, что матрица перехода в квантовом
§ 3. ТОЖДЕСТВА СЛЕДОВ
85
случае получается из классической с помощью нормального упорядочения (операторы \|/(х, /) стоят справа от операторов v)/+(x, ф:
Тя(х,у\Х)= : ТоХ
Особенно ясно это из § VII.3, посвященного решеточным моделям (некоммутирующие квантовые множители не умножаются один на другой). Квантовые поправки в тождествах следов возникают лишь прн нормальном упорядочении логарифма т(А).
В квантовом случае мы будем действовать по аналогии с классическим. Наложим на поля >|/(х) периодические граничные условия с периодом L. Рассмотрим оператор (с>х+ К(х|А)) (IV. 1.14) в квантовом случае. Матрицу перехода определим по аналогии с (IV. 1.6), (IV. 1.7):
(дх + (а/2) сг+Q (х)) Т{х, у | А.) = 0. (3.3)
Следует напомнить, что Т— это матрица 2 х 2, а ее матричные элементы являются квантовыми операторами, т. е. зависят от полей >)/(z), ф+(z) (x^z^y). Матрица перехода обладает следующим свойством:
ylM- (3-4)
Здесь звездочка означает эрмитово сопряжение квантовых операторов (и не переставляет матричных элементов). Матрица монодромии определяется, как и в классике:
T(X)sT(L, 0|Ь). (3.5)
След матрицы монодромии x(X) — trT(X) называется трансфер матрицей. Можно выразить интегралы движения Н, Р и Q с помощью тождеств следов:
ln(exp{iX.L/2}i(X.)) -» ic(X~1Q +
X I 00
+ l-2(P-(ic/2)Q) + \-3(H-icP-{c2/3)Q) + 0(\-*)). (3.6)
Доказательство формул следов аналогично классическому случаю (см. § IV. 1). Диагонализуем матрицу перехода с помощью калибровочного преобразования. Формулы (IV. 1.22)—(IV. 1.28) выполняются и в квантовом случае. Однако диагональную матрицу D(L, 01X.) представим несколько по-другому:
D(L, 0|A) = exp{ — (iXL/2)az} (1 +ау А.-1 + а2Х~2 + а3Х~3 + 0(Х~4)).
(3.7)
Используя (IV. 1.27), получим
a^-lW^dz, (3.8)
а2= -$ W2(z)dz + :$ W^dz] Wx{y)dy:, (3.9)
О
«3= -J W3(z)dz + :$ W2(z)dz\ W1(y)dy: +
0
+ :J W,(z)dz j W2{y)dy: - ;J wi{!)d!)wi{y)dy]wi{t)dt. (3.10)
86
ГЛ. V. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
(3.11)
(3-12)
(3.13)
Благодаря периодическим граничным условиям, = (L)
и x(k) = trD(L, 0|А.). В пределе X. -> г оо можно пренебречь D22 по сравнению с D11; отсюда следует, что x(k) = Dll(L, 01X.) (л -> г оо). Прологарифмируем и получим
1п(ехр{г'ХХ/2}т(Х.)) -» 1п(1+а1Х.~1 + я2Х.~2 + а3Х._3) =
Х-> i со
= \~1 Ь1+\~2 Ь2 + Х~ъ ьъ
Здесь
*i = «i, b2 = a2~{ai/l),
Ьъ = аъ-{{а1а2 + а2а1)12) + аЦЪ.
Величины а1, а2, а3, Ьг нормально упорядочены, однако величины Ь2 и Ьъ нет. Приводя их к нормальному виду, получим квантовые поправки к классическим тождествам следов:
b\=icQ, b2 = icP + (c2/2)6;
b3 = icH+c2P-(ic3/3)Q.
Итак, квантовые тождества следов (3.6) доказаны. Заметим, что аналогичным образом можно найти и явный вид высших законов сохранения. Ниже, в § VII.3 мы еще вернемся к квантовым тождествам следов при построении квантового гамильтониана модели НШ на решетке.
Вычислим теперь ^-матрицу, описывающую коммутационные соотношения между матричными элементами матрицы монодромии. Наиболее наглядный характер вычисления носят, если перейти от непрерывной формулировки к формулировке на инфинитезимальной решетке (IV. 1.5). В квантовом случае L-оператор задается той же формулой, что и в классике ((IV. 1.19), (IV. 1.20)):
L(n\X) = (l~^A/2^ “г'ч^'к+Л) + 0(Д2), (3.14)
V iyfctynА 1+(гХД/2)/
но теперь \|/„, »|/„+—квантовые операторы, причем
[>„, ^]=5т„А-1. (3.15)
Элементарные вычисления показывают, что Л-матрица существует и имеет вид
R(X, ц) = П — icE(k — ц)-1. (3.16)
Эта Л-матрица уже встречалась (см. (2.3)). Выпишем ее в явном виде как матрицу 4x4:
R(X, ц) =
' /(ц, X) 0 0 0
0 g(n, >•) 1 0
0 1 0
0 0 0 /(и> X),
(3.17)
§ 4. МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
87
Здесь
/(ц, А)=1 +
g(v-, *¦)=-
(3-18)
ц — X’ evr~’ 7 ц—X
В дальнейшем будем называть эту ^-матрицу R-матрицей XXX модели.
§ 4. Модели квантовой теории поля
Приведем здесь примеры моделей квантовой теории поля, которые решаются с помощью квантового метода обратной задачи.
1. Квантовая модель синус-Гордон задается тем же гамильтонианом (IV.3.2), что и в классике, величины гс(х) и и\х) являются квантовыми операторами с каноническими перестановочными соотношениями [w (х), 7i(>>)] = i5(x—у). Величины м„ и рп также являются квантовыми операторами, причем
